A1 Resumen Algebra UVM

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Asignatura: Algebra

Profesor: Gregorio Zamora Mejía

Alumno: Alberto Michelle Rivera Valle

Matricula: 340344889

Actividad 1: Resumen

Fecha de entrega: lunes 15 de Julio del 2019

Introduccion

Para comprender y obtener un mejor aprendizaje de las matemáticas tenemos que tener en mente que estas se expresan en un lenguaje especial, para entender y aprender las matemáticas es necesario conocer su idioma.

Las matemáticas fueron primeramente utilizadas como método de medida de las circunstancias y acontecimiento físico. Y quizás esa debería ser su principal función. Sin embargo, con el desarrollo de operaciones y sistemas matemáticos se cree haber sobrepasado el simple método de medida para convertir las matemáticas en un leguaje de expresión y demostración con el cual podemos averiguar toda la realidad física. 

El álgebra de conjuntos se encarga de definir las operaciones, reglas y propiedades que podemos aplicar a los conjuntos. Podemos decir que un conjunto es una agrupación, variedad, clase o colección de objetos que se denominan elementos del conjunto. Si utilizamos símbolos como B podemos ver representado que otro elemento “a” pertenezca o está contenido en el conjunto B, o lo que es igual, el conjunto B contendrá al elemento a. Un conjunto B se define si dado un objeto a. Un conjunto se representa habitualmente mediante llaves que contienen sus elementos, ya sea escribiendo todos y cada uno de los elementos, o dando una fórmula, regla o proposición que los describa.

Resumen

El lenguaje de las matemáticas

El lenguaje matemático es una forma de comunicación a través de símbolos especiales para realizar cálculos matemáticos.

A continuación, algunos ejemplos expresados en lenguaje natural y/o lenguaje matemático:

• En el lenguaje natural no se utiliza el cero como número.
• En el lenguaje natural, sumar es aumentar y restar es disminuir. En el lenguaje matemático, sumar es aumentar o disminuir (si se suma un número negativo).
• Cuando se dice un número, en el lenguaje natural se refiere a uno cualquiera determinado, mientras que en el lenguaje matemático se refiere a todos los números.
• En el lenguaje matemático una curva simple es una curva que no se corta a sí misma, aunque su forma sea extraordinariamente complicada.

Las matemáticas siempre se ligan a la existencia de símbolos que, paradójicamente, son necesarios para expresarlas de forma concisa y sencilla.

Como muestra, dos ejemplos de la forma en que simplifican los símbolos:

• Euclídes (300 a.C.): Si un segmento rectilíneo se corta por un punto arbitrario, el cuadrado del total es igual a los cuadrados de cada uno de los segmentos y el doble del rectángulo cuyos lados son los segmentos.

Con símbolos: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab.

• Arquímedes (225 a.C.): El área de un círculo es igual a la del triángulo cuya base es el perímetro de su circunferencia y la altura es igual al radio.

Con símbolos: A = ¼ r 2.

Conjunto:

Es una colección de objetos diferente donde los objetos que lo conforman de les llama elemento de conjunto.

Conjunto

Un conjunto puede ser presentado en forma:

• Analítica
• Enumeración o extensión. Listando todos sus elementos cuando es posible, separados cada uno por medio de una coma y encerrándolos entre llaves {}.
• Frase o regla que describe las propiedades que tiene sus elementos, descripción por comprensión.
• Forma gráfica mediante un dibujo, diagrama de Venn-Euler, una tabla o un diagrama de árbol para presentar ciertas relaciones entre dos o más conjuntos.

Cardinalidad

Cardinalidad: Es el número de elementos distintos que tiene un conjunto.

Pera representar la idea de cardinalidad de un conjunto se utiliza la letra n, encerrando entre paréntesis la letra mayúscula que le da nombre al conjunto n(A) se lee “cardinalidad del conjunto A”.

Conjunto Vacío

Es aquel que no tiene elementos.

Se expresa:

Φ = {x/x ∈ A, y x ∉ A}

Conjunto universal

Se toma como marco de referencia para formar y realizar alguna operación entre conjuntos. Por lo general, este conjunto se representa con la letra U.

Conjuntos Finitos

Un conjunto es finito cuando tiene n elementos, siendo n un numero entero positivo.

En un conjunto finito el proceso de numerar sus elementos tiene un fin, es decir, es numerable siempre tiene un último elemento.

Subconjunto

Si todos los elementos de un conjunto A son también elementos de un conjunto B, se dice que A es un subconjunto de B. esta relación se expresa como: A ⊂ B

Ejemplo:

A = {a, e, i,} y B = {a, e, i, o, u}

Se dice que A es un subconjunto de B, A ⊂ B, porque los elementos de A están contenidos en B.

Si B ⊂ A y B = A, se dice que B es un subconjunto impropio de A. Esto quiere decir que si B tiene los mismos elementos que sea idéntico a A.

Esta relación se expresa: B ⊆ A.

Ejemplo:

A = {a. e. i. o. u} B = {a, e, i, o, u}

En el caso de conjuntos infinitos se cumple además que al comparar la cardinalidad de un conjunto infinito con la de un subconjunto del mismo, ambas son iguales.

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