“APLICACIÓN DE SERIES DE FOURIER PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES QUE PRESENTEN SOLUCIÓN PARTICULAR”

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COLEGIO MAYOR SECUNDARIO

PRESIDENTE DEL PERÚ COAR LIMA

BACHILLERATO INTERNACIONAL

PROGRAMA DEL DIPLOMA

Monografía en Matemática NM

Convocatoria Noviembre 2017

“APLICACIÓN DE SERIES DE FOURIER PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES QUE PRESENTEN SOLUCIÓN PARTICULAR”

Candidato: Gómez Lozano Aldo Jhair

Código:

Supervisor:

Lima–Perú

2017

ÍNDICE

Introducción……………………………………………………………………………………………………………………3

CAPÍTULO 1.- MARCO TEÓRICO:………………………………………………………………………………………4

1.  Series Trigonométricas……………………………………………………………………………………….4
2. Funciones Trigonométricas………………………………………………………………………………….4
3.  Series de Fourier…………………………………………………………………………………………………5
4.  Coeficientes de Fourier……………………………………………………………………………………….5
5.  Funciones Periódicas…………………………………………………………………………………………..5
6. Integral definida de una función Periódica.............................................................5
7.  Funciones Ortogonales………………………………………………………………………………………..5
8. Polinomios trigonométricos...................................................................................6
9. Ecuaciones Diferenciales………………………………………………………………………………………6
10. Derivadas Parciales de una Función de dos variables……………………………………………6
11. Derivadas Parciales de un orden superior………………………………………………………….7

INTRODUCCIÓN

El análisis matemático como rama importante de la matemática, tiene múltiples aplicaciones que nos permiten resolver situaciones tanto de problemas reales y abstractos, una de las herramientas principales son las Series de Fourier, las que establecen relaciones entre las funciones periódicas y una suma finita de series sinusoidales y cosinusoidales. Sin embargo muy pocas veces sabemos en qué se pueden aplicar estás series ya que son muy complejas y un poco abstractas. Por ello la pregunta que desarrollaré en el presente trabajo es: ¿En qué medida permiten el método de Fourier permiten la resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que admiten soluciones particulares?

        Mi profesor de Matemática nos dejó como tarea aplicar la serie de Fourier  en cualquier problema ya sea real o no, sin embargo, pocos sabíamos cómo resolver dicha tarea. Por esta razón mi intriga creció y me llevo a investigar sobre esta temática, encontrando aplicaciones como el análisis del comportamiento de una señal. Pero, mi deseo aumentó cuando encontré información acerca D’ Alembert en el año de 1747, que estudiaba el problema de la descripción de la oscilación de una cuerda de violín para cual la ecuación   debía ser resuelta en derivadas parciales con ciertas condiciones de borde, entonces investigando en libros de cálculo acerca de Fourier descubrí que la ecuación de D’ Alembert guardaba cierta similitud con el problema de la transmisión de calor que Fourier estaba investigando  , por ello, investigué en los libros de cálculo y descubrí que la relación entre las series de  Fourier y las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. [pic 2][pic 3][pic 4]

        Este trabajo se encuentra dividido en 2 partes. En la primera parte será el marco teórico donde se dará a conocer los conceptos previos que ese utilizará para resolver los ejercicios del segundo capítulo, en la segunda parte se demostrará y encontrará las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales aplicando Fourier con un método no muy conocido por las personas.

        El objetivo del trabajo es, finalmente, demostrar que si existe una forma más fácil de aplicar Fourier para distintas ecuaciones diferenciales, para finalmente mostrar que un conocimiento no muy extenso de las distinta ramas de las matemáticas, como algebra y el cálculo, podemos determinar tales soluciones y muchas otras de manera sencilla con un carácter matemático adecuado  

CAPÍTULO 1. MARCO TEÓRICO

1.  Series trigonométricas:

Llamamos series trigonométricas a una serie de funciones de la forma:

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Y denotaremos [pic 6][pic 7]

A la función de la serie de su conjunto de convergencia.

1. Funciones trigonométricas

Proposición 1.2, 1: Sean m y n enteros positivos. Entonces

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Demostración: Demostraremos que:

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Supongamos , por la identidad  tenemos que:[pic 11][pic 12]

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Por lo tanto:

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Supongamos m = n, por la identidad , tenemos que:[pic 17]

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Por lo tanto:

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1.  Series de Fourier: Si la función f (t) es periódica con periodo T y que puede representarse por medio de una serie trigonométrica de la forma:

• Si la función f(t) es periódica con periodo T y que puede representarse por medio de una serie trigonométrica de la forma:

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