Analisis De Duerzas

Versión 2004

CAPITULO 9

TRENES DE ENGRANAJES, REDUCTORES

PLANETARIOS Y DIFERENCIALES

División 2

Engranajes. Dimensionamiento y cálculo

Aspectos de rendimiento y de dinámica

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

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1. Análisis de fuerzas

Análisis de Fuerzas en engranajes rectos

En la Figura 9.37 se muestra la distribución de fuerzas actuantes en un engranaje. Nótese que la fuerza actuante sobre la línea de presión se discrimina en dos componentes, una radial y otra tangencial, las cuales vienen dadas por la siguiente expresión:

[][]φφSenWWCosWWrt⋅=⋅=

(9.47)

La fuerza tangencial se puede relacionar con la capacidad de transmisión de potencia y torque según la siguiente expresión:

⇒==ωωptDWTH. ωptDHW=

(9.48)

Donde H es la potencia, T es el torque, ω es la velocidad de rotación y DP es el diámetro primitivo. Nótese que la expresión (9.48) es independiente de unidades.

(a)

(b)

Figura 9.37. (a) Distribución de cargas en un engranaje recto. (b) cargas hipotéticas en un diente

Para poder calcular la resistencia de un diente es necesario conocer algunas propiedades de los materiales para los engranajes. En la Figura 9.38 se reproducen gráficas pertenecientes a las normas AGMA donde se indica la variación de los valores permisibles de tensiones flexionantes y tensiones de contacto para dos grados diferentes de acero endurecido. Los grados de material difieren en la calidad y control de la microestructura cristalina, el tipo y calidad de ensayos de laboratorio de verificación y validación del acero, etc. El grado 2 es de mayor calidad que el grado 1.

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(a)

(b)

Figura 9.38. (a) Tensiones flexionantes permisibles. (b) tensiones de contacto permisibles

Fuente: AGMA 1012-F90

Un primer enfoque para discriminar la resistencia de los dientes de engranajes se debe a Lewis (1892), quien con un planteo simplificado obtuvo una expresión para dimensionado y/o diseño bajo flexión.

La ecuación de flexión convencional es: IcMbperm.,=σ

(9.49)

Luego, observando la Figura 9.37.b se puede extraer la siguiente conclusión geométrica: ⇒=l2t2tx// x4t2=l

(9.50)

Para una sección rectangular los parámetros geométricos y de esfuerzos para flexión son 12tbI3w= 2tc= lWMt⋅=

(9.51)

Luego la ecuación de resistencia es YbpWxpb2pW3xb2W3tblW6wdtdwdtwt2wtbperm⋅=⋅⋅=⋅=⋅=..,σ

(9.52)

siendo bw el ancho de faja del diente, pd es el paso diametral, Y es el denominado coeficiente de forma de Lewis definido por:

3px2Yd..=

(9.53)

Este coeficiente de forma se puede hallar tabulado en la Tabla 9.3. La ecuación de Lewis (9.52) no se encuentra afectada por coeficientes de concentración de tensiones. Se puede considerar el efecto de concentración de tensiones que existe en el filete del diente (Figura

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9.37.b) con un coeficiente de concentración de tensiones KC, el cual es aplicado al factor de Lewis como: Yj = Y/KC, así pues la (9.52) se convierte en: jwdtbpermYbpW⋅=,σ

(9.54)

En la Figura 9.39 se muestran los valores de algunos coeficientes Yj para un engranaje recto con un ángulo de presión φ = 20°.

Número de dientes Factor de Lewis Número de dientes Factor de Lewis 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 32 0.176 0.192 0.210 0.223 0.236 0.245 0.256 0.264 0.270 0.277 0.283 0.292 0.302 0.308 0.314 0.318 0.322 34 36 38 40 45 50 55 60 65 70 75 80 90 100 150 200 300 0.325 0.329 0.332 0.336 0.340 0.346 0.352 0.355 0.358 0.360 0.361 0.363 0.366 0.368 0.375 0.378 0.382

Tabla 9.3. Factores de forma de Lewis para φ = 20°.

Figura 9.39. Factores de geometría de engranaje Yj para dientes rectos de f = 20°

Para envolvente de profundidad completa. Fuente: AGMA 1012-F90

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Por otro lado, la AGMA, modificó la expresión de Lewis, añadiendole algunos factores de modificación o corrección, basados en formulaciones experimentales y/o computacionales efectuados en los laboratorios de la mencionada institución de normalización. La ecuación propuesta por AGMA es similar en esencia a la ecuación de Lewis: vjwmsadtbpermKYbKKKpW⋅=,σ

(9.55)

siendo

- Ka el factor de aplicación

- Ks el factor de tamaño

- Km el factor de distribución de carga

- Kv el factor dinámico.

El factor de aplicación toma en cuenta las variaciones de la carga, vibraciones, impacto etc. Se consideran tres tipos de fuentes de alimentación de potencia:

- Uniforme: motor eléctrico o turbina de velocidad constante

- Impacto ligero: turbina de agua con accionamiento variable

- Impacto moderado: motor de cilindros múltiples.

En la Tabla 9.4 dan algunos indicadores para diferentes condiciones de irregularidad. La irregularidad viene identificada por:

- Uniforme: generador de operación continua

- Impacto ligero: ventiladores y bombas centrífugas de baja velocidad, agitadores de líquidos, etc.

- Impacto moderado: bombas centrífugas de alta velocidad, bombas alternativas, accionamiento de máquinas herramientas, etc.

- Impacto pesado: Trituradoras de piedras, accionamiento de prensas y troqueladoras, cribas vibratorias, etc.

Tabla 9.4. Factor de aplicación en función de la fuente de potencia y la máquina impulsada máquinas impulsadas Fuente de Potencia uniforme impacto ligero impacto moderado impacto pesado Factor de aplicación, Ka Uniforme Impacto Ligero Impacto moderado 1.00 1.20 1.30 1.25 1.40 1.70 1.50 1.75 2.00 1.75 2.25 2.75

El factor de tamaño se puede obtener en la Tabla 9.5 en función del módulo o bien el paso diametral. En la Figura 9.40 se muestra la variación del factor de distribución de carga como función del ancho de faja del engranaje y de la razón del ancho de faja a los diámetros de paso

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de los engranajes. Por otro lado en la Figura 9.41 se muestra la variación del factor dinámico como función de la velocidad perimetral en la línea de paso, la cual se calcula como: 12NdvPPpπ=

(9.56)

siendo

- vp la velocidad en la línea de paso en pies/min

- dp el diámetro de paso en pulg

- NP la velocidad de rotación del engranaje en RPM

Tabla 9.5. Factor de tamaño en función del módulo o del paso diametral.

paso diametral pd, pul-1 Modulo, m, mm Factor de tamaño ≥5 4 3 3 1.25 ≤5 6 8 12 20 1.00 1.05 1.15 1.25 1.40

Figura 9.40. Factores de distribución de carga

Figura 9.41. Factores dinámico como función de la velocidad en la línea de paso y el nivel de precisión

Fuente: AGMA 1012-F90

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Análisis de Fuerzas en engranajes helicoidales

La carga de empuje es la misma para engranajes rectos que helicoidales, y se trata de la fuerza tangencial Wt. Observando la Figura 9.42 se puede deducir las siguientes relaciones entre las fuerzas actuantes en los engranajes helicoidales:

[][][][]ψφφψCosCosWWTanWWCosWWnttrta=⋅=⋅=

(9.57)

Figura 9.42. Fuerzas en un engranaje helicoidal

Análisis de Fuerzas en engranajes cónicos

Observando la Figura 9.43 se puede obtener la siguiente relación entre las fuerzas de un engranaje cónico:

[][][][]γφφγCosTanWWTanSenWWtrta⋅⋅=⋅=

(9.58)

Figura 9.43. Fuerzas en un engranaje cónico

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Rendimiento de engranajes rectos

Considérese el caso de la Figura 9.44 donde una primera rueda motora (1) engrana con una segunda rueda conducida (2). Si consideramos la presencia de rozamiento, aparecerá una fuerza que se opone al deslizamiento relativo entre los dientes de ambas ruedas.

Para estudiar ese deslizamiento relativo paramos la rueda (1) introduciendo en el sistema una velocidad angular de –ω1. En tal caso, la ω de la rueda (2) será: ωr = ω1 + ω2 (puesto que ω1 y ω2 eran de sentido opuestos al tratarse de engranajes exteriores). El punto de contacto, como perteneciente a la rueda (2), tenderá a ir hacia abajo, y la fuerza de rozamiento se opondrá a ese desplazamiento.

Figura 9.44. fuerzas de contacto para calcular el rendimiento

Aparecen así dos fuerzas iguales y de sentidos contrarios sobre cada uno de los dientes y de valor igual a μ·F. Si se toma momentos con respecto a los centros de reducción de cada engranaje

[][]()[][]()0xSenRFCosRFM0xSenRFCosRFM222111=++−=−+−ϕμϕϕμϕ..

(9.59)

El rendimiento mecánico se define como: 1EngranajesalequePotencia2EngranajesalequePotencia________=η

(9.60)

Luego: [][][][]1221121122RxSenCosRxSenCosRRMMMMαϕααϕαωωη++−+==−=

(9.61)

téngase presente que μ = Tan[α].

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La expresión (9.61) da el rendimiento en función del punto de contacto.

Para hallar el rendimiento medio, hay que reparar en el detalle de la Figura 9.44, donde se muestra la zona activa y teniendo den cuenta que el punto P es el punto primitivo, se cumple

()dtldtvds21d.ωω+==

(9.62)

Luego los ángulos que giran ambos engranajes son:

[]ϕωCosRdldt11=, []ϕωCosRdldt22=

(9.63)

Reemplazando (9.63) en (9.62) se tiene []ϕCosdlRlRlds21+=

(9.64)

la cual integrado para ambos engranajes dará ()[]ϕCos2llR1R1SSS22212121.++=+=

(9.65)

Ahora bien, el trabajo mecánico que hace el rozamiento y el trabajo aprovechable son ()[]ϕμCos2llR1R1FL222121roz...++=, ()21leaprovechabllFL+=..

(9.66)

Luego el rendimiento medio será: []( )

21222121leaprovechabrozleaprovechabmediollllR1R1Cos211LLL++++=+=ϕμη.,

(9.67)

Expresión que permite concluir que para que el rendimiento aumente es necesario:

- Minimizar el coeficiente de rozamiento (μ) entre las superficies de los dientes.

- Aumentar el radio (R1 y R2) de los cilindros primitivos de funcionamiento.

- Aumentar el Cos[ϕ]; es decir, disminuir el ángulo de presión ϕ.

- Minimizar las longitudes (l1 y l2) de los segmentos de aproximación y alejamiento.

2. Bibliografía

[1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002

[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000

[3] M.F. Spotts y T.E. Shoup, “Elementos de Máquinas”, Prentice Hall 1999

[4] A.H. Erdman y G.N. Sandor, “Diseño de Mecanismos” Prentice Hall 1998

[5] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000

[6] M.J.T Lewis “Gearing in the ancient world”

[7] Editorial. “Lifting Boats, measuring gears”. Gear Technology. May-June 2003, 9-11.

[8] D.P. Townsend “Dudley´s gear handbook” McGraw Hill 1992

[9] R. Lipp, “Avoiding Tooth interference in Gears”. Machine Design 54(1) 122-124 (1982)

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