Analisis Dimenasional

1 An´alisis dimensional

El an´alisis dimensional es una herramienta conceptual muy utilizada en la

f´ısica, la qu´ımica y la ingenier´ıa para ganar comprensi´on de fen´omenos que

involucran una combinaci´on de diferentes cantidades f´ısicas. Es adem´as,

rutinariamente utilizada para verificar relaciones y c´alculos, as´ı como para

construir hip´otesis razonables sobre situaciones complejas, que puedan ser

verificadas experimentalmente.

Uno de dichos usos est´a basado en el requerimiento de consistencia dimen-

sional. Este requerimiento est´a relacionado con la 2da Ley de Newton: cuando

se describen magnitudes mec´anicas, el conjunto de magnitudes que se utilice

puede ser arbitrario; sin embargo existen dos tipos de sistemas de magnitudes,

los consistentes y los no consistentes. Se dir´a que un sistema de magnitudes

es consistente si las magnitudes que lo define verifican la siguiente propiedad:

[F] = [M][A]

donde los corchetes indican la magnitud. Para que un sistema pueda ser utilizado

en la mec´anica, este debe ser consistente.

Los conceptos de unidad y magnitud est´an relacionados pero no son lo mismo:

en efecto, en la observaci´on de fen´omenos, cada cantidad f´ısica Rj , tendr´a

asociada unidades {Rj} –que indicaremos entre llaves– que representan cantidades

de referencia de una magnitud, aceptadas por convenci´on. As´ı un

kilogramo (kg) corresponde a una cantidad de masa est´andar y patr´on o una

pulgada (in) corresponde con una longitud patr´on que puede representarse

por 2, 54 cent´ımetros (cm), otra unidad patr´on en otro sistema de unidades.

As´ı una cantidad f´ısica se representa, en un sistema de unidades como

Rj = v(Rj){Rj},

donde v(Rj) es un n´umero real que representa el valor de dicha cantidad

expresada en unidades {Rj}. Si se desea utilizar otro sistema de unidades,

debe disponerse de una relaci´on del tipo ˆRj = x−1

j Rj que permita el cambio

entre dichos sistemas. As´ı la misma cantidad f´ısica resultar´a

Rj = |v(R{jz)x}j

ˆv(Rj )

{ˆRj} = ˆv(Rj){ˆRj},

donde el factor xj es el denominado factor de conversi´on.

Los sistemas de magnitudes se representan por s´ımbolos. Por ejemplo, [MLT]

representan respectivamente masa, longitud, tiempo y temperatura. As´ı,

1

siguiendo el ejemplo, la velocidad tiene asociada la magnitud [V]; sin embargo,

considerando el sistema [M,L,T,] es posible escribir que [V]=[L]/[T],

resultando que hay algunas magnitudes derivadas de otras, mediante una

combinaci´on de aquellos s´ımbolos elevados a alguna potencia.

Definici´on 1 Sistema de magnitudes fundamentales

Se llama sistema de magnitudes fundamentales [F1, · · · , Fm] al conjunto de

menor cantidad de elementos que permite derivar todas las magntudes involucradas

en un fen´omenos. 

El sistema [M,L,T,] es un sistema fundamental de magnitudes para la

mec´anica. En este sistema, la fuerza tiene una magnitud derivada [M][L]/[T]2.

Sin embargo, en virtud de la ley de Newton, ser´ıa posible definir un sistema

[F,L,T,] de magnitudes fundamentales, en el cu´al la masa tendr´ıa una magnitud

derivada [F][T]2/[L]. As´ı, los sistemas de magnitudes fundamentales

son arbitrarios, pesando sobre ellos el ´unico requerimiento de consistencia

dimensional.

Propiedad 1

Las magnitudes que forman un sistema fundamental son independientes:

Ym

i=1

Fxi

i = 1 ) xi = 0, para i = 1, 2, · · · ,m. 

El conjunto de los s´ımbolos que definen un sistemas de magnitudes forman

un grupo: en efecto, existe un elemento identidad, indicado por [1] y todo

s´ımbolo –por ejemplo L– tiene su inverso –en este caso, L−1. Adem´as, todo

s´ımbolo elevado a una potencia es miembro del grupo, con inverso

Definici´on 2

Sea un sistema de n magnitudes, representadas por su correspondiente s´ımbolo

[Mj ], los que se pueden representar por un sistema de m magnitudes fundamentales

[F1, · · · , Fm], m < n, seg´un

Mj = Fa1j

1 · · ·Famj

m , para j = 1, · · · , n.

La matriz

A :=

2

64

a11 · · · a1n

...

. . .

...

am1 · · · amn

3

75

se denomina matriz de dimensi´on A. 

2

Dado un conjunto de magnitudes, estas pueden combinarse para formar una

nueva magnitud

[M1

1 · · ·Mn

n ] =

Ym

i=1

Fai11

i · · ·

Ym

i=1

Fainn

i =

Ym

i=1

Fai11+···+ainn

i

Definici´on 3 Magnitud adimensional

Una magnitud construida por combinaci´on de n magnitudes, representables

en un sistema de m magnitudes fundamentales se dice adimensional, si

ai11 + · · · + ainn = 0, para i = 1, · · · , n o en forma equivalente, si A = 0,

donde A 2 Rm×n es la matriz de dimensi´on. 

Esta relaci´on pone en evidencia que existe una relaci´on 1 a 1 entre el espacio

nulo de A y el conjunto de las combinaciones adimensionales de las magnitudes.

M´as a´un, si se considera una base del espacio nulo de A y se toman

las correspondientes combinaciones adimensionales {1, · · · , n−m} (m es el

rango de A), entonces cualquier otra combinaci´on adimensional podr´a escribirse

como c1

1 · · · cn−m

n−m , donde los exponentes {c1, · · · , cn−m} son ´unicos,

y resultan ser los coeficientes del elemento del espacio nulo en la base elegida.

{1, · · · , n−m} es un conjunto maximal de las combinaciones adimensionales

independientes.

Ejemplo: Consid´erese el caso de una cuerda de longitud ` [L], vibrando con

amplitud A [L]. La cuerda tiene una densidad lineal  [M/L] y se encuentra

sometida a una tensi´on  [M /L T2]. Se requiere una relaci´on para la energ´ıa

E espec´ıfica [L2/T2] de la misma. Observando las magnitudes involucradas,

se pueden formar dos combinaciones adimensionales, 1 = E

A , and 2 = `

A.

Combinando estas dos magnitudes adimensionales, resulta

F(

E

A

,

`

A

) = 0,

donde F es una funci´on impl´ıcita desconocida. En forma equivalente se puede

expresar

E =

A



f(

`

A

),

donde f es otra funci´on. Esta funci´on desconocida indica que la soluci´on es

incompleta, pero esta t´ecnica puso de manifiesto algo que en principio no es

evidente: que la energ´ıa es proporcional a la tensi´on. 

3

1.1 El teorema  de Buckingham

En esta secci´on se enunciar´a y demostrar´a un importante resultado

Teorema 1 Teorema  de Buckingham [Phys. Rev. 4, 345, 1914.]

Cualquier relaci´on (M1, · · · ,Mn) = 0 entre n cantidades f´ısicas, es equivalente

a una relaci´on de la forma (1, · · · , n−m) = 0 que involucra un

conjunto maximal de (n−m) combinaciones adimensionales independientes.

Demostraci´on: Sea {[M1], · · · , [Mn]} el conjunto de las magnitudes asociadas

a las n cantidades f´ısicas y sea {[F1], · · · , [Fm]} un conjunto de magnitudes

fundamentales. La cantidad  tendr´a magnitud,

[] =

Ym

i=1

Fbi

i , bi = Ai

donde Ai es la i–´esima columna de la matriz de dimensi´on. A tiene rango

m, es decir, tiene m columnas linealmente independientes, que se asume, son

las primeras. As´ı las correspondientes magnitudes ser´an independientes en el

sentido de la Propiedad 1, esto es, que su ´unica combinaci´on adimensional es

la trivial ([M1]1 [M2]2 · · · [Mm]m ser´a adimensional si 1 = · · · = m = 0).

Las restantes columnas pueden expresarse como combinaci´on lineal de las

primeras m, de modo que

[Mj ] = [Mc1

1 · · ·Mcm

m ], j = m + 1, · · · , n

para una adecuada elecci´on de c1, · · · , cm. Pero entonces, [MjM−c1

1 · · ·M−cm

m ]

es adimensional, pudiendo escribirse que

[Mj ] = [M1]c1 · · · [Mm]cmd1

1 · · · dn−m

n−m

siendo los d1, · · · , dn−m ´unicos y constituyendo los 1, · · · n−m, un conjunto

maximal. Reemplazando en la relaci´on , resulta

(M1, · · · ,Mn) = (M1, · · · ,Mm, 1, · · · , n−m) = 0.

Para terminar la demostraci´on hay que probar la independencia de respecto

de M1, · · · ,Mm. Para ello, obs´ervese que si se realiza un cambio de unidades

–manteniendo el sistema de magnitudes– la relaci´on resulta

(M

1 , · · · ,M

m, 1, · · · , n−m) = 0.

Como los k son invariantes ante el cambio de unidades, concluimos que para

conservar el valor de la funci´on esta no puede depender de M1, · · · ,Mm,

reduci´endose a (1, · · · , n−m) = 0, lo que completa la prueba. 

4

El Teorema ofrece no s´olo una poderosa herramienta te´orica, sino una metodolog

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