APLICACION DE LAS DERIVADAS

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS.

Teorema de Rolle.

Si:

• es una función continua definida en un intervalo cerrado

• es derivable sobre el intervalo abierto

•

Entonces: existe al menos un punto perteneciente al intervalo tal que .

En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal.

En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c

Comprobación

• Gracias a la continuidad de f, la imagen de [a, b], conjunto conexo es un conjunto conexo de R, y por lo tanto es un intervalo, el intervalo imagen.

• La imagen por una función continua de un conjunto compacto es un conjunto compacto, y por lo tanto el intervalo imagen es cerrado y de longitud finita: es de la forma [m, M], con m el valor mínimo de f y M su valor máximo.

• Si m = M , la función es constante, y cualquier punto c de (a, b) conviene. Descartado este caso, m ≠ M significa que uno de los dos no es igual a F(x) = f(x). Supongamos que sea M. Entonces M > F(x) = f(x), y por lo tanto el máximo M está alcanzado en el interior del intervalo (corresponde al primer ejemplo).

• Sea c en [a, b] tal que f(c) = M. Por definición del máximo, M = f(c) ≥ f(x) para todo x de [a, b]. Entonces el cociente (F(x) - f(x)) / (c - x) es no negativo cuando x < c (porque su numerador es siempre no negativo y su denominador es positivo no nulo), y es no positivo cuando x > c (el denominador se vuelve negativo no nulo). Pero f '(c) es por definición el límite de este cociente cuando x tiende hacia c. El límite por la izquierda, f '(c-)positivo, tiene que ser igual al límite por la derecha, f '(c+). Por lo tanto este límite común es nulo, o sea f '(c) = 0.

Ejemplos

1. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]?

La función es continua en [0, 2].

No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto x = 1.

Teorema de Cauchy

Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:

El valor del primer miembro es constante:

La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos (c, f(c)) y (c, g(c)) de las curvas f(x) y g(x), tales que la pendiente de la tangente a la curva f(x) en el primer punto es k veces la pendiente de la tangente a la curva g(x) en el segundo punto.

Al teorema de Cauchy también se le suele denominar teorema del valor medio generalizado.

Ejemplos

Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo [1, 4] a las funciones:

f(x) = x2 − 2x + 3 y g(x) = x3 − 7x2 + 20x − 5.

En caso afirmativo, aplicarlo.

Las funciones f(x) y g(x) son continuas en [1, 4] y derivables en (1, 4) por ser polinómicas, además se cumple que g(1) ≠ g(4).

Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:

Ejemplo:

Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable a las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x en el intervalo [0, π/2].

Las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x son continuas y derivables en toda la recta real.

Y en particular son continuas en el intervalo [0, π/2] y derivables en (0, π/2).

g(π/2) ≠ g(0)

Por lo tanto podemos aplicar el teorema de Cauchy:

g' (c) ≠ 0 −sen(π/4 ) ≠ 0.

Teorema del valor medio

El teorema del valor medio o de Lagrange dice que:

Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:

La interpretación geométrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.

El teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio, en el que f(a) = f(b).

Ejemplos

1. ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 4x2 − 5x + 1 en [0, 2]?

f(x) es continua en [0, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:

Funciones creciente y decreciente

.

Cuando se tiene la gráfica de una función continua resulta bastante fácil señalar en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante. Sin embargo, no resulta fácil decir en que intervalo la función es creciente, decreciente o constante sin la gráfica de la función.

El uso de la derivada de una función puede ayudar a determinar si una función es creciente, decreciente o constante

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