Aplicaciones De La Derivada

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizás una de las más importantes es la de conseguir los valores máximos y mínimos de una función. También la derivada es una herramienta muy útil para graficar funciones.

1. Extremos absolutos y puntos críticos

Un problema de mucho interés es buscar la mejor alternativa frente a muchas posibilidades de decisión. En términos matemáticos, muchas veces este planteamiento se traduce en buscar el máximo o el mínimo de una función y donde se alcanza este máximo o mínimo. Cuando la función es cuadrática se pueden determinar estos valores buscando el vértice de la gráfica de este tipo de función. Para funciones más generales, la derivada puede ayudar a resolver este problema. Recordemos primero la definición de valor máximo y mínimo.

Definición: Sea f una función definida en un intervalo I y c un punto en I.

• f(c) es el valor máximo absoluto de f en I si f(c) ≥ f(x) para todo x en I.

• f(c) es el valor mínimo absoluto de f en I si f(c) ≤ f(x) para todo x en I.

Si f(c) es el valor máximo de f en I entonces se dice que f alcanza su valor máximo en x= c. En la figura, el punto (c, f(c)) es el punto más alto de la gráfica de la función en I=(a, b).

Los máximos o mínimos absolutos de una función son llamados extremos absolutos. La palabra absoluto suele ser omitida.

Observaciones:

1) Una función puede alcanzar un valor mínimo más de una vez. Similarmente puede alcanzar más de una vez un valor máximo.

2) Hay funciones tales que en un intervalo tienen un máximo pero no tienen mínimo, otras no alcanzan ninguno de los dos extremos o alcanzan ambos. Abajo se muestran algunas posibilidades.

El siguiente teorema establece un resultado para la última situación: si la función es continua y el intervalo es cerrado entonces se puede asegurar la existencia de ambos extremos.

Teorema: Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces f alcanza un máximo y un mínimo absoluto en [a, b].

El Teorema da una garantía para que existan ambos extremos. Sin embargo algunas de las condiciones pudiesen no satisfacerse y alcanzarse ambos.

Extremos relativos o locales

En la figura observamos la gráfica de una función f tal que f (e) es el valor máximo absoluto de f. El valor f(c) no es el máximo absoluto, sin embargo podemos apreciar un intervalo abierto que contiene a c tal que f(c) es el valor máximo absoluto de la función en ese intervalo. Este valor es un valor característico de la función y nos referiremos a él como un valor máximo relativo o local de la función. De manera similar hablaremos de un valor mínimo relativo f (d) si este valor es el mínimo que tiene f(x) para x cercanos a d. A continuación damos la definición formal.

Definición:

• Una función f tiene un máximo relativo (o local) en c si existe un intervalo abierto I en el dominio de f que contiene a c tal que f(c) es el valor máximo absoluto en el intervalo.

• Una función f tiene un mínimo relativo (o local) en c si existe un intervalo abierto I en el dominio de f que contiene a c tal que f(c) es el valor mínimo absoluto en el intervalo.

Hablaremos de extremos relativos para referirnos conjuntamente a los máximos y mínimos relativos. Una de las importancias de los extremos relativos es que nos ayudará a localizar los extremos absolutos de una función. Por ejemplo, en el caso de una función continua definida en un intervalo cerrado, si el máximo absoluto no se alcanza en un extremo del intervalo entonces ese máximo ocurre en un extremo relativo. El problema que trataremos,

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