Aplicaciones de la derivada. Fundamentos matemáticos.

Aplicaciones de la derivada. Fundamentos matemáticos.

En la ciencia, la ingeniería y la administración es frecuente interesarse por los valores máximo y mínimo de funciones; por ejemplo, una compañía esta naturalmente interesada en maximizar los ingresos al mismo tiempo que en minimizar los costos. La próxima vez que vayas a un supermercado intenta este experimento: lleva contigo una pequeña regla y mide la altura y diámetro de todas las latas que contengan por ejemplo 16 onzas de alimento (28.9 plg³). El hecho de que todas las latas de este volumen especificado tengan las mismas medidas no es una casualidad, puesto que existen dimensiones específicas que minimizarán la cantidad de metal utilizado y, por consiguiente, minimizarán el costo de fabricación a la compañía. Así por el estilo, muchos de los llamados autos económicos tienen aspectos que son notablemente semejantes. No se trata precisamente del simple hecho de que una compañía copie el éxito de otra, sino, más bien, que para un volumen determinado los ingenieros procuran lograr un diseño que minimice la cantidad de material empleado.

En los ejemplos y problemas que siguen se dará una función, o bien, habrá que interpretar la descripción verbal para establecer una función de la cual se busca un valor máximo o mínimo. Estos son los tipos de problemas verbales que realzan el poder del cálculo y proporcionan una de las muchas respuestas posibles a la añeja pregunta de: “¿para qué sirve?”

Los pasos a seguir cuando se trabaja con problemas de optimización son en general los siguientes:

1. Desarrolle una actitud positiva y analítica. Lea el problema lentamente. No nada más se esfuerce por obtener una respuesta.
2. Cuando sea necesario, dibuje una ilustración.
3. Introduzca variables y fíjese en toda relación que exista entre ellas.
4. Utilizando todas las variables necesarias, establezca una función que deba ser maximizada o minimizada. Si se usa más de una variable, entonces emplee una relación entre ellas para reducir la función a una variable.
5. Haga notar el intervalo en el cuál la función está definida. Determine todos los valores críticos.
6. Si la función que va a ser maximizada o minimizada es continua y definida en un intervalo cerrado [a,b], entonces pruebe si hay extremos en las fronteras. Si el extremo deseado no ocurre en la frontera, debe ocurrir en un valor crítico dentro del intervalo abierto (a,b).
7. Si la función que se va a ser maximizada o minimizada está definida en un intervalo que no es cerrado, entonces debe emplearse un criterio de derivada en cada valor crítico.

EJEMPLO1:

Determinar dos números no negativos cuya suma sea 15 tales que el producto de uno con el cuadrado del otro sea máximo.

Solución:

(i)   No es posible hacer un dibujo o esquema.

(ii)  Denótese por x y y los dos números no negativos; esto es x>=0 y y>=0. Nótese que esta dado que  x + y = 15.

(iii) Denotamos P el producto.

                                               Producto     un número     cuadrado del otro

                                                         P =               x          •                 y²

De (iii), se puede usar y = 15 – x para expresar P sólo en términos de x:

                                P = x(15-x)²

(iv) La función está definida solamente para 0 <= x <= 15, puesto que, si x >15, entonces y = 15 – x sería negativo, contario a las condiciones dadas. Ahora bien, por la regla del producto,

                              P’(x) = x•[2(15-x)•(-1)]+ (15-x)²•(1)

                  P’(x) = -2x(15-x)+ (15-x)²

                        P’(x) = -30x+2x²+ (225-30x+x²)

                  P’(x) = 3x² -60x+ 225

                      P’(x) = (3x-15 ) (x-15 )

Así que el único valor crítico en (0,15) es x = 5.

(v) La prueba en los valores frontera del intervalo revela que P(0) = P(15) = 0 es el valor mínimo del producto. Por consiguiente, P(5) = 5(10)² = 500 debe ser el valor máximo. Los dos números no negativos son 5 y 10.

Nota: A menudo en problema dado puede resolverse en más de una forma. En el ejemplo, se podría también expresar la función P, o sea el producto, en términos del símbolo y:

                                P = xy²

                                   = (15-y)y²

                                   = 15y²-y³

EJEMPLO2:

Un terreno rectangular que tiene 1500m² va a ser cercado y dividido en dos porciones iguales mediante una cerca adicional paralela a dos de los lados. Encontrar las dimensiones del terreno que requieran la menor cantidad de cerca.

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