Aritmetica

INTRODUCCION A LA ARITMETICA

• En matemática, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética es la afirmación de que todo entero positivo se puede representar como producto de factores primos de una forma única, salvo el orden. Por ejemplo, podemos escribir 6936 = 2³ • 3 • 17² 1200 = 24 • 3 • 5² y no existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en números primos, excepto cambiando el orden de los factores anteriores. Para hacer que el Teorema vaya bien con el número 1, pensaremos en 1 como el producto de cero factores primos (véase producto vacío). Aplicaciones El teorema establece la importancia de los números primos.

En esencia, son los "ladrillos básicos" con los que se "construyen" los enteros positivos, en el sentido de que todo entero positivo puede construirse a partir de los números primos de una única manera.

Conocer la factorización de un número en factores primos es conocer todos y cada uno de los factores del mismo.

Por ejemplo, la factorización de 6936 nos dice que los factores positivos de 6936 son de la forma

2a • 3b • 17c

con [0 ≤ a ≤ 3], [0 ≤ b ≤ 1], y [0 ≤ c ≤ 2]. Esto supone un total de 4 • 2 • 3 = 24 factores positivos.

Una vez que se conoce la factorización de dos números en sus respectivos factores primos, se puede hallar fácilmente su máximo común divisor (m.c.d.) y mínimo común múltiplo (m.c.m.).

Por ejemplo, de las factorizaciones anteriores de 6936 y 1200, podemos inferir que su m.c.d. es 2³ • 3 = 24.

Sin embargo, si no se conocen los factores primos, el uso del algoritmo de Euclides, en general, requiere muchos menos cálculos que la factorización de los dos números.

El teorema fundamental asegura que las funciones aritméticas aditivas y multiplicativas están completamente determinadas por sus valores en las potencias de los números primos.

Demostración

Existen varias pruebas de este teorema que fue descubierto por los griegos hace más de dos milenios: las pruebas por reducción al absurdo y las pruebas constructivas (es decir que permiten efectivamente encontrar tal factorización, o descomposición, en factores primos).

Si la prueba ad absurdum no es significativamente más corta se prefiere la constructiva. Empezaremos con la prueba por reducción al absurdo.

La demostración por reducción al absurdo tiene dos partes: primero, hemos de mostrar que todo número entero positivo puede en efecto escribirse como producto de primos, y después tenemos que probar que dos representaciones de un número en factores primos son esencialmente iguales.

Existencia: Supóngase que existe algún entero positivo que no puede representarse como producto de primos.

Entonces, entre todos los números para los que el teorema falla, debe existir un número más pequeño: llamémosle n. Este número n no puede ser 1, por la convención anterior.

Tampoco puede ser un número primo, porque todo número primo es el producto de un único número primo: él mismo.

Así que n = ab, donde a y b son enteros positivos menores que n. Como n es el número más pequeño para el que falla el teorema, entonces tanto a como b pueden escribirse como producto de primos.

Pero entonces n = ab también puede escribirse como producto de primos,

...