Aritmetica

1. Numero mixto es aquel que tiene un numero exacto de unidades más una o varias partes iguales de la unidad

2. Los cocientes que resultan de dividir dos números por el m.c.d. de los mismos, son primos entre si

3. Si a los términos de una fracción propia se suma u mismo numero, la fracción que resulta es mayor que la dada

4. Si al dividendo de una división exacta se le suma el divisor y este no varia, el cociente aumenta en uno

5. Si al consecuente de una razón aritmética se suma o se resta un numero, la razón queda disminuida o aumentada en ese numero

6. Media geométrica o media proporcional es cada uno de los términos medios de una progresión geométrica continua

7. Si dos proporciones geométricas tiene los antecedes iguales, los consecuentes forman una proporción geométrica

8. El m.c.d. de dos o más monomios se obtiene multiplicando el m.c.d. de los coeficientes por todas las letras comunes con su menor exponente

9. El m.c.m. de dos o más monomios se obtiene multiplicando el m.c.m. de los coeficientes por todas las letras comunes y no comunes con su mayor exponente

10. Racionalizar el denominador de un a fracción es convertir una fracción cuyo denominador es irracional en otra equivalente cuyo denominador sea racional

11. El producto de dos expresiones irracionales conjugadas es racional

12. El m.c.m. de tres o más números se altera si se sustituyen dos de ellos por su m.c.d.

13. Si los dos términos de una fracción irreducible se elevan a una misma potencia, la fracción resultante es tambien irreducible

14. La potencia es distributiva con respecto a la multiplicación

15. Toda igualdad de dos razones geométricas forma una proporción geométrica

16. Numero mixto es aquel que consta de un numero entero y una fracción propia

17. El tanto por ciento de un numero es una o varias de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho numero

18. La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación

19. Fracción decimal inexacta periódica es aquella en la cual hay una cifra que se repite indefinidamente y en el mismo orden

20. En una división inexacta, la suma de los residuos por exceso y por defecto es igual al divisor

21. Una fracción irreducible es cuando el numerador y el denominador son primos entre sí

22. Si dos números son primos relativos, el m.c.m es el producto de los mismos

23. Todo múltiplo de dos números es múltiplo de su m.c.d.

Magnitudes inversamente proporcionales son aquellas que, multiplicando o dividiendo una de ellas por un numero, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo numero

Propiedades de los números primos

* Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisor de a o de b. (Lema de Euclides)

* Si p es primo y a es algún número entero, entonces ap - a es divisible por p (Pequeño Teorema de Fermat)

* Un número p es primo si y solo si el factorial (p - 1)! + 1 es divisible por p. (Teorema de Wilson)

* Si n es un número natural, entonces siempre existe un número primo p tal que n < p < 2\cdot n. (Postulado de Bertrand)

* En toda progresión aritmética a_n=a + n \cdot q, donde los enteros positivos a, \;q \geq 1 son primos entre sí, existen infinitos números primos. (Teorema de Dirichlet).

* El número de primos menores que un x dado sigue una función asintótica a f(x)=\frac {x}{\ln x - 0,83} (Teorema de los números primos).

* El anillo Z/nZ es un cuerpo si y solo si n es primo. Equivalentemente: n es primo si y solo si ?(n) = n - 1.

DESIGUALDADES E IGUALDADES

• Igualdad: números iguales son aquellos que representan conjuntos coordinables.

• Desigualdad: Números desiguales son aquellos que representa conjuntos no coordinables.

• Postulado de relación: Dados dos números a y b necesariamente tiene que verificarse una de estas posibilidades a=b, a mayor que b o a menor que b

• Signos dobles en la desigualdad: Si una de las tres posibilidades no se verifica, necesariamente tiene que verificarse una de las otras dos

• Leyes de la igualdad:

*Carácter idéntico: Todo número es igual a sí mismo. *Carácter reciproco: si un número es igual a otro este es igual al primero

* Carácter transitivo: Si un número es igual a otro y este es igual a un tercero, el primero es igual al tercero

Si a=b y b=c entonces a=c

• Leyes de la desigualdad:

*En la desigualdad no existe el carácter idéntico, pues es imposible que un número sea mayor o menor que él mismo

*Tampoco existe el carácter reciproco. Si un número es mayor que otro, este último no puede ser mayor que el primero

*Lo anterior nos dice que si se invierten los miembros de la desigualdad, cambia el sentido de la desigualdad

*Las desigualdades solo tienen carácter transitivo. Si un número es mayor que otro y este mayor a un tercero, el primero es mayor que el tercero; si un número es menor que otro y este es menor que un tercero, el primero es menor que el tercero.

• Combinación de igualdades y desigualdades:

*Combinación de igualdades y desigualdades que tengan todas el mismo signo >.Cuando todos los signos de igualdad son > se deduce la relación mayor entre el primer término y el último

*Combinación de igualdades con desigualdades que tengan todas el signo <. Cuando todos los signos de desigualdad son < se deduce la relación menor entre el primer y el último término

*Combinación de igualdades desigualdades no todas con el mismo signo. De aquí no se puede deducir relación alguna entre el primer y último término

OPERACIONES ARITMETICAS

• Son 7: suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación.

• Se clasifican en directas o de composición e inversas o de descomposición. Son directas por que en ellas conociendo ciertos datos se halla un resultado. Son inversas por que en ellas conociendo el resultado de la operación directa correspondiente y uno de los datos se halla el otro dato

SUMA

+Suma de conjuntos: sumar dos o más conjuntos (sumandos), que no tienen elementos comunes, es reunir en un solo conjunto (suma) todos los elementos que integran los conjuntos dados y solo ellos.

+ Suma de números naturales: suma de varios números naturales es el número cardinal del conjunto suma de los conjuntos cuyos números cardinales son los números dados

• Casos particulares de la suma:

*Sumando unidad: el uno representa los conjuntos de un solo elemento, cuando todos los sumandos son 1 la suma es igual al número de sumandos

*Sumando nulo: módulo de la adición, el 0 es el único numero que sumado con otro no lo altera; el 0 es el módulo de la suma.

• Leyes de la suma

o Ley de uniformidad:

 La suma de varios números dados tiene un valor único o siempre es igual.

 Las sumas de números respectivamente iguales son iguales.

 Suma de igualdades: sumando miembro a miembro varias igualdades, resulta una igualdad.

o Ley conmutativa: el orden de los sumandos no altera la suma.

o Ley asociativa: la suma de varios números no varios sustituyendo varios sumandos por su suma.

o Ley disociativa: la suma de varios números no se altera descomponiendo uno o varios sumandos en dos o más sumandos

• Suma de igualdades y desigualdades:

o Ley de monotonía:

 Sumando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido con igualdades resulta una desigualdad del mismo sentido.

 Sumando miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido resulta otra desigualdad del mismo sentido que las dadas.

 Sumando miembro a miembro desigualdades de sentidos contrarios, el resultado no puede anticiparse, puede ser una igualdad o una desigualdad.

• Alteraciones de los sumandos

 Si un sumando aumenta o disminuye un número cualquiera, la suma aumenta o disminuye el mismo numero.

 Si un sumando aumenta un número cualquiera y el otro disminuye el mismo número, la suma no varia.

• La suma de dos números más su diferencia es igual al duplo del mayor. (a+b) + (a-b) = 2a

• La suma de dos números menos su diferencia es igual al duplo del menor. (a+b) – (a-b) = 2b

RESTA

• La resta es la operación inversa a la suma que tiene por objeto dada la suma de do sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta, exceso o diferencia)

a - b =c donde a = minuendo = suma

b = sustraendo = sumando conocido

c = diferencia = sumando desconocido

• Leyes de la resta

o Ley de uniformidad

 La diferencia de dos números tiene un valor único o siempre es igual.

 Restando miembro a miembro dos igualdades, resulta otra igualdad.

• Resta de igualdades y desigualdades

o Ley de monotonía

 Si de una

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