DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL

ÍNDICE

5. Transformaciones lineales                                                                             Pg.

Introducción.----------------------------------------------------------------------------------------- 3

      5.1 Definición de transformación lineal.----------------------------------------------------4

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.-------------------------------------5

5.3 Representación matricial de una transformación lineal.--------------------------7

5.4 Aplicación de las transformaciones lineales.---------------------------------------10

• Reflexión--------------------------------------------------------------------------------10
• Dilatación-------------------------------------------------------------------------------11
• Contracción----------------------------------------------------------------------------11
• Rotación--------------------------------------------------------------------------------12

Conclusión.-----------------------------------------------------------------------------------------13

Bibliografías.---------------------------------------------------------------------------------------14

INTRODUCCIÓN

En este trabajo se dará  conocer las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, como se desarrolla en las ecuaciones lineales, la representación matricial y posteriormente las aplicaciones, se darán ejemplos para que los temas abordados sean más claros y comprendidos de una manera fácil.

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. . Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. 

Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

[pic 2]

5.1 DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL

• Exhiben un comportamiento que preserva la estructura de las operaciones de espacio vectorial.
• Son muy importantes tanto en matemáticas como en física, ingeniería y ciencias sociales.
• Están totalmente determinadas por sus valores en una base cualquiera del espacio.
• En los espacios de dimensión finita toda transformación lineal puede ser representada por una matriz.
• A toda matriz se le puede asociar una transformación lineal.

Definición:

Sean V y W e.v. sobre IR; se llama transformación lineal de V a W a toda función:

T: V → W

Que satisface para todo v, u ∈ V y α ∈ IR lo siguiente:

1. T(αv) = αT(v)                  (decimos que T “saca” el escalar α)
2. T(v + u) = T(v) + T(u)     (T preserva las operaciones suma de los espacios vectoriales)

Es directo demostrar que esta definición es equivalente al requisito de que T conserve todas las combinaciones lineales. Por lo tanto:

T: V →  W es una transformación lineal si

[pic 3]

Para todo ,. . ., en V y escalares ,. . ., . [pic 8][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Propiedades de las transformaciones lineales:

Sea T: V → W una transformación lineal. Entonces:

1. T (0)= 0 
2. T (-v) = -T (v) para todo v en V.
3. T (u - v) = T (u) - T (v) para todo u y v en V.

La propiedad más importante de una transformación lineal T: V →W es que T está completamente determinada por su efecto sobre una base para V.

Ejemplo:

1. Defina  mediante . Demuestre que T es una transformación lineal. [pic 9][pic 10][pic 11]

Solución:

 Se comprueba que, para A y B en  y escalares c, y[pic 12]

+.  Y      = [pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

 Por tanto, T es una transformación lineal.

5.2 NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

• Comprende el estudio de dos subespacios asociados a toda transformación lineal: el núcleo y la imagen.
• Relación del núcleo y la imagen con la inyectividad y sobreyectividad.

Definición:

La inyectividad es una característica muy fácil de verificar mediante lo que llamaremos el núcleo de dicha aplicación; mientras que la suprayectividad será también una propiedad sencilla de comprobar mediante la imagen de la transformación. [pic 18]

Sea T ∈ L (V, W):i

1. }    se llama núcleo de T. [pic 19]
2.    se llama imagen de V bajo T, o simplemente imagen de T.[pic 20]

El Nuc (T) y la Img (T) son subespacios de V y W respectivamente.

El teorema de las dimensiones establece una relación aritmética sencilla entre la dimensión de V y la dimensión del núcleo y de la imagen. Sea F: V→W  transformación lineal. Si dim (V) = n (finita) entonces:

[pic 21]

Los transformados de una base del dominio generan la imagen  aplicando la transformación lineal a los vectores de una base (cualquiera) del dominio, se obtiene un conjunto de generadores de la imagen:

[pic 22]

Clasificación:

• F es inyectiva (monoformismo) ⇔  (F)={}[pic 23][pic 24]
• F:V→W es sobreyectiva (epimorfismo) ⇔ Img (F)=W
• F:V→W es biyectiva (isomorfismo) ⇔ (F)= {}  ∧   Img (F)=W[pic 25][pic 26]

Propiedad:

Sea F: V→W una TL.,  dim (V) = dim (W) = n

Puede afirmarse que: F es inyectiva ⇔ F es sobreyectiva ⇔ F es biyectiva. Teniendo en cuenta que:

F es inyectiva ⇔  (F)= {} ⇔ dim ()=0[pic 27][pic 28][pic 29]

Ejemplo:

1. Dada la siguiente transformación lineal ) buscar el núcleo, la imagen, y determinar sus dimensiones.[pic 30]

Solución:

Para determinar el núcleo planteamos:

(x, y, z) está en el núcleo ⇔ T ((x, y, z)) = (0, 0,0)

[pic 31]

Por lo tanto la forma del vector del núcleo quedaría:

[pic 32]

= [pic 33][pic 34]

El núcleo es:

[pic 35]

La imagen se obtiene aplicando propiedades sobre la expresión que define la TL:

[pic 36]

Por lo tanto obtenemos las dimensiones del núcleo e imagen:

[pic 37]

[pic 38]

2.  Transformada lineal en  asociada con la matriz  [pic 39][pic 40]

[pic 41]

Es fácil ver que

[pic 42]

[pic 43]

5.3 REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.

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