DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BINOMIAL

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL

La distribución de probabilidad binomial contiene una gran cantidad de variables aleatorias discretas, cuyos resultados (experimentales) son creados a través de un proceso conocido como Bernoulli.

La distribución de Bernoulli siendo un parámetro “p”, es un modelo que se aplica en situaciones en las que un cierto atributo aparece con probabilidad de éxito o que la ausencia de este mismo atributo nos marque una probabilidad de fracaso; dicho de este modo esta probabilidad se utiliza en experimentos donde su resultado solo puede tomar un solo valor de dos posibles, por esto mismo sus resultados son mutuamente excluyentes. Por ejemplo, en el lanzamiento de una moneda tendríamos solo dos respuestas, sol o águila. Existen dos resultados, esto se le llama binomial y. por tanto, una persona solo puede escoger una sola cara de la moneda y la otra queda excluida.

A estos resultados como anteriormente dice se les llama “fracaso” o “éxito”. A pesar de ello, un éxito no significa necesariamente un resultado deseable o positivo como se piensa la mayoría de las veces.

Un proceso de Bernoulli presenta las siguientes propiedades:

1. Cada experimento tiene solamente dos resultados posibles (éxito o fracaso). Estos resultados son, como ya observamos, mutuamente excluyentes.
2. Los resultados de cada experimento pueden obtenerse mediante dos métodos de muestreo. Cada observación puede seleccionarse, ya sea a partir de una población infinita sin reemplazo, o bien, a partir de una población finita con reemplazo.
3. La probabilidad de que un resultado se clasifique como éxito, recibe el nombre de p. Este valor de probabilidad es el mismo entre una observación y otra (población finita con reemplazo). Por tanto, 1 - p, llamada la probabilidad de fracaso (q), también es constante en todas las observaciones.
4. Un resultado particular, ya sea éxito o fracaso, de cualquier experimento es independiente del resultado que se dé en cualquier otro experimento.

CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Si se conoce la probabilidad de que en un experimento determinando tendrá un éxito, entonces es posible conocer cuántos éxitos habrá en un número determinado de experimentos.

Dentro de la estadística, un experimento que presenta un proceso de Bernoulli puede definirse mediante los siguientes símbolos:

p= la probabilidad de tener un éxito.

q= (1=p) = a la probabilidad de tener un fracaso.

r= el número de éxitos deseados al realizar un proceso de Bernoulli.

n= el numero total de ensayos o intentos utilizados (este numero es fijo durante el experimento).

Todo esto se calcula a través de la siguiente formula:

[pic 1]

Recordando que el símbolo n!, significa n factorial. Por ejemplo, 5! = 5*4*3*2*1= 120 y que 0! = 1.

EJEMPLO 1.

En un cuestionario acerca del empleo se pregunta: ¿usted trabaja actualmente? Se ha considerado que el 65% de los entrevistados responderá que “sí”, se hicieron 8 cuestionarios del estudio. ¿Qué probabilidad hay de que en cinco de ellos respondan afirmativamente?

Solución:

n= 8        

r= 5p= 0.65                                  [pic 2][pic 3]

q=1-p=0.35                           [pic 4]

                                   0.2786[pic 5]

La probabilidad de que en cinco de ellos respondan afirmativamente es de 0.2786

EJEMPLO 2.

Para las próximas elecciones de jefe de Gobierno, se ha estimado que aproximadamente 30% del electorado no votará ¿Qué probabilidad hay de que 8 de 15 partidarios del PRI empadronados en la colonia Tabacalera de la Ciudad de México no voten en las elecciones para elegir jefe de Gobierno?

Solución:         [pic 6]

n= 15        [pic 7]

r=8                                         [pic 8]

p= 0.30 q=1-p= 0.70

MEDIA Y DESVIACIÓN ESTANDAR DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La media de una distribución binomial se calcula mediante:

[pic 9]

Donde n es el numero total de intentos utilizados en el experimento y p es la probabilidad de tener un éxito.

La desviación estándar de una distribución binomial se calcula mediante:

[pic 10]

EJEMPLO 3.

Una maquina empacadora produce 15% de paquetes defectuosos. Si tomamos una muestra aleatoria de 45 paquetes, ¿Cuál es la media y desviación estándar de esta distribución?

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