Distribuciones De Probabilidad Continua Y Binomial

FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

En la teoría de la probabilidad, la función de densidad de probabilidad, función de densidad, o, simplemente, densidad de una variable aleatoria continua describe la probabilidad relativa según la cual dicha variable aleatoria tomará determinado valor.

La probabilidad de que la variable aleatoria caiga en una región específica del espacio de posibilidades estará dada por la integral de la densidad de esta variable entre uno y otro límite de dicha región.

La función de densidad de probabilidad (FDP o PDF en inglés) es no-negativa a lo largo de todo su dominio y su integral sobre todo el espacio es de valor unitario.

DEFINICIÓN: Una función de densidad de probabilidad caracteriza el comportamiento probable de una población en tanto especifica la posibilidad relativa de que una variable aleatoria continua X tome un valor cercano a x.

Una variable aleatoria X tiene densidad f, siendo f una función no-negativa integrable de Lebesgue, si:

Por lo tanto, si F es la función de distribución acumulativa de X, entonces:

y (si f es continua en x)

Intuitivamente, puede considerarse f(x) dx como la probabilidad de X de caer en el intervalo infinitesimal [x, x + dx].

De las propiedades de la función de densidad se siguen las siguientes propiedades de la fdp (a veces visto como PDF del inglés):

para toda .

El área total encerrada bajo la curva es igual a 1:

La probabilidad de que tome un valor en el intervalo es el área bajo la curva de la función de densidad en ese intervalo o lo que es lo mismo, la integral definida en dicho intervalo. La gráfica f(x) se conoce a veces como curva de densidad.

Algunas FDP están declaradas en rangos de a , como la de la distribución normal.

EJEMPLOS:

Una calculadora genera números al azar en el intervalo [0,1], con igual probabilidad para cada número del intervalo. Una variable así definida es continua, y además se reparte uniformemente la probabilidad en el intervalo [0,1]. La función de densidad es:

Esta función así definida cumple las dos condiciones:

Esta función así definida cumple las dos condiciones:

Esta función así definida cumple las dos condiciones:

2. Dada la función

determínese el valor de k para que f sea una función de densidad

Atendiendo a la definición de la función de densidad, para que f sea función de densidad 3 + k = 1 , sin más que despejar en la ecuación se deduce que k = -2

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA

DEFINICIÓN: La función de distribución acumulada FX de una v.a. X es definida para cada número real x como

Propiedad 1: La función de distribución acumulada únicamente puede tomar valores entre cero y uno.

Propiedad 2: La función de distribución acumulada es no decreciente en x, i.e.

Propiedad 3:

EJEMPLO 1:

Experimento aleatorio: lanzar un dado y observar el resultado. Variable aleatoria X: indica el resultado obtenido al lanzar el dado.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA:

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA (GRÁFICA):

PROPOSICIÓN 1.

Para cualquier x dado,

Prueba: Dadas las propiedades de las probabilidades,

PROPOSICIÓN 2.

Para dos números reales x1 y x2 tal que x1 < x2 ,

RELACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Y LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA EN V.A. DISCRETAS.

EJEMPLO 2:

Sea X una v.a. discreta con función de probabilidad:

x P(X=x)

10 1/ 4

20 0

30 1/ 2

40 1/16

50 3/16

RELACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD Y LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA EN V.A. CONTINUAS.

Si X es una v.a. continua con función de densidad de probabilidad f(x) y función de distribución acumulada F(x), entonces

EJEMPLO 3:

Sea

a) ¿F(x) es una función de distribución acumulada?

Para determinar si F(x) es una función de distribución acumulada debemos determinar si satisface las propiedades de las funciones de distribución acumulada.

b) ¿Cuál es la función de densidad de probabilidad?

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución continua de probabilidad más importante de toda la estadística es la distribución de probabilidad normal. Como vimos anteriormente, una variable aleatoria continua es la que puede asumir un número infinito de posibles valores dentro de un rango específico. Estos valores usualmente resultan de medir algo ( medidas de longitud, de peso, de tiempo, de temperatura etc.)

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL

La distribución de probabilidad normal y su curva tiene las siguientes características:

La curva normal tiene forma de campana. La media, la moda y la mediana de la distribución son iguales y se localizan en el centro de la distribución.

La distribución de probabilidad normal es simétrica alrededor de su media. Por o tanto, la mitad del área bajo la curva está antes del punto central y la otra mitad después. El área total bajo la curva es igual a 1.

La curva normal se aproxima de manera asintótica al eje horizontal conforme se aleja de la media en cualquier dirección. Esto significa que la curva se acerca al eje horizontal conforme se aleja de la media, pero nunca lo llega a tocar.

La función de la curva normal es la siguiente:

F(x) = 1 e (- ½)[(x-µ)/σ]²

√ 2πσ

Donde π = 3.14159 y e = 2.71828

LA FAMILIA DE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL

Cuando se habla de la distribución normal, realmente se está hablando de una familia de curvas. Como se puede apreciar en la función de la curva normal, la curva depende de dos variables además de la variable independiente x, tales como la media (), y la desviación estándar (). Por lo tanto se tendrán curvas diferentes para funciones con desviación estándar diferente aún cuando sus medias fuesen iguales, como se muestra enseguida.

CURVAS NORMALES CON MEDIA IGUAL Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DIFERENTE.

Si por el contrario, las curvas tienen desviación estándar igual y la media es diferente, las curvas serán idénticas pero centradas en diferente posición en el eje horizontal.

CURVAS NORMALES CON DESVIACIÓN ESTÁNDAR IGUAL Y MEDIA DIFERENTE

Si las curvas tienen la media diferente y también la desviación estándar diferente, aparte de estar centradas en diferentes lugares del eje x, tendrá formas diferentes.

CURVAS NORMALES CON MEDIA DIFERENTE Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DIFERENTE

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

El área bajo la curva normal y sobre el eje x es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria x tome un valor dentro de cierto intervalo. Para medir esta área es necesario calcular la integral de la función de la curva normal para un intervalo de valores. Para evitar la dificultad de resolver integrales es necesario tabular las áreas que corresponden a cada valor de x. Como el número de distribuciones normales es ilimitado sería una tarea sin fin intentar establecer tablas para cada combinación de y. Afortunadamente, un miembro de la familia de las distribuciones normales puede ser usado en todos los problemas donde la distribución normal es aplicable, esta es la distribución normal con media cero y desviación estándar 1, la cual es llamada distribución normal estándar.

Cada distribución normal deberá estandarizarse, es decir, transformarse a una distribución normal estándar, utilizando un valor z, o variable aleatoria estándar.

Valor Z. Distancia entre un valor seleccionado, denominado X, y la media de la distribución, en unidades de una desviación estándar.

En términos de fórmula:

z = x – µ

σ

Gracias a esta fórmula podemos transformar cualquier distribución normal a la distribución normal estándar.

ÁREAS BAJO LA CURVA NORMAL

Si se quiere saber la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores dentro de determinado rango, se necesitaría calcular el área bajo la curva, resolviendo la integral de la función para ese rango de valores.

Una característica que tiene cualquier distribución normal es que el área bajo la curva, que representa la probabilidad de que la variable aleatoria tome ciertos valores, se distribuye en la misma proporción.

Para facilitar los cálculos se tabularon las áreas bajo la curva normal que se encuentran a la derecha de algunos de los valores Z, de esta forma ya no es necesario resolver integrales, solo se necesita transformar la distribución normal de interés en una distribución normal estándar mediante la fórmula, y el área a la derecha del valor z será el mismo que el área a la derecha

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