Distribucion Normal

La distribución normal

De entre todas las distribuciones continuas tiene especial relevancia la distribución Normal o de Gauss. Aparece frecuentemente en las situaciones más variadas.

Las variables que presentan una distribución Normal tienen características comunes tales como la acumulación de valores en torno al valor de la media, la simetría en la distribución de los valores y escasos valores alejados de la media, por ejemplo:

- Caracteres morfológicos de individuos: altura, peso, número de pie, tamaño del palmo, etc.

- Carácterísticas de la mayoría de los productos de consumo: duración de las bombillas, resistencia a la rotura de muebles o de piezas, duración de los electrodomésticos, etc.

- Calificaciones obtenidas en cursos, asignaturas y exámenes.

Se dice que una variable aleatoria continua sigue una distribución normal de media y desviación típica , y se escribe , cuando tiene la función de densidad:

La gráfica de esta función de densidad tiene forma campaniforme, y se denomina “campana de Gauss”.

Las Propiedades de la función f(x) se aprecian en su gráfica y son:

- f(x) tiene por dominio .

- f(x) es continua en su dominio.

- f(x) es simétrica respecto a la recta x=μ.

- Ffx) tiene un máximo absoluto en

- f(x) tiene dos puntos de inflexión en x= μ+σ y x=μ-σ.

- f(x) es siempre positiva y asintótica con respecto al eje OX.

- La gráfica de la función de densidad f(x) se llama campana de Gauss .

Para el cálculo de probabilidades usamos la función de distribución:

.

Para x=a este valor representa la probabilidad de que la v.a.X tome valores menores o iguales que a y graficamente representa el área encerrada bajo la curva, el eje OX y la recta x=a.

Puede observarse la dificultad de la integral, es por ello y dado lo habitual que es el uso de esta distribución, que se utiliza una tabla ya confeccionada para el calculo de probabilidades.

Pero como bien estarás pensando es imposible realizar una tabla para cada valor de μ y de σ que pueden tomar los parámetros en la distribución.

Las curvas de las diferentes funciones de densidad son en realidad la misma curva variando su máximo y su curvatura en función de μ y σ, por esto el área encerrada bajo la curva es siempre la misma (como función de densidad que es vale 1) aunque repartida de forma diferente.

Los anteriores argumentos justifican el uso de la N(0,1) como distribución estandar, para la cual existe la tabla de valores de la función de distribución. A partir de ella y mediante un cambio de variable, que denominamos tipificación podemos calcular las probabilidades para cualquier distribución N(μ,σ)

Uso de tablas

Las tablas nos ofrecen el valor de F(z0)= P(Z≤ z0) para valores de z0 de 0 a 4 . La primera columna corresponde a valores desde 0,0 a 3,9 y el segundo decimal se completa con los valores de la primera fila que van desde 0,00 a 0,09. En la intersección de la fila y la columna correspondiente se encuentra el valor de dicha probabilidad.

Caso 1: P(Z≤ 1,56) = 0,9406

Buscamos el valor en la intersección de la fila de 1,5 y la columna 0,06.

La probabilidad pedida es el área sombreada

Caso 2: P(Z≥1,56) = 1 – P(Z≤ 1,56) =1 - 0,9406 = 0,0594

Tenemos en cuenta que el area total encerrada por la curva es 1 y procedemos por “paso al contrario”

Caso 3: P(Z≤ -1,56) Habrás observado que en tabla sólo aparecen valores positivos de la variable. Tenemos

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