Distribución Normal

20 PROBLEMAS

En un examen final de matematicas la media fue de 72 y la desviacion tipica de 15. Determinar las referencias tipificadas (es decir, graduaciones en unidades de desviacion tipica) de los estudiantes que obtuvieran puntuaciones de a) 60, b) 93, c) 72.

Solución:

z=(x-x¯ )/8=(60-72)/15=-0.8

z=(x-x¯ )/8=(93-72)/15=1.4

z=(x-x¯ )/8=(72-72)/15=0

Con referencia al problema 14, hallar las puntuaciones correspondientes a las referencias tipificadas a) -1, b) 1.6

Solución:

X=x¯ +Z8 = 72 + (-1)(15) = 57

X=x¯ +Z8 = 72 + (1.6)(15) =96

Dos estudiantes fueron informados de que habían recibido referencias tipificadas de 0.8 y -0.4 respectivamente, en un examen de inglés. Si sus puntuaciones fueron 88 y 64, respectivamente, hallar la media y desviación típica de las puntuaciones del examen.

Solución:

Mediante la ecuación X=x¯ +zs, se tiene para el primer estudiante

88 = x¯ +0.8s

64 = x¯ -0.4s

Resolviendo (1) y (2) se llega a x¯ =72 y desviación típica s= 20

Hallar el área bajo la curva normal entre z = 0 y z = 1.2

Solución:

En dicha tabla se ve hacia abajo en la columna encabezada por z hasta alcanzar el valor 1.2. Entonces por esa fila hacia la derecha hasta la columna encabezada por 0.

El resultado 0.3849 es el área pedida y representa la probabilidad de que z esté comprendida entre 0 y 1.2, denotado por P {0 ≤ z ≤ 1.2}

Encuentre el área bajo la curva entre z = -0.68 y z = 0

Solución:

Para hallar el área entre z = 0 y z = -0.68, se procede de arriba hacia abajo en la columna encabezada por z hasta el valor 0.6. Entonces por esa fila hacia la derecha hasta la columna encabezada por 8.

El resultado 0.2518 es el área pedida y representa la probabilidad de que z esté entre -0.68 y 0, denotado por P {-0.68 ≤ z ≤ 0}

Hallar el área bajo la curva entre z = -0.46 y z = 2.21

Solución:

Área pedida = (área entre z = -0.46 y z = 0) + (área entre z = 0 y z = 2.21)

= (área entre z = 0 y z = 0.46) + (área entre z = 0 y z = 2.21)

= 0.1772 + 0.4864 = 0.6636

Hallar el área entre z = 0.81 y z = 1.94

Solución:

Área pedida = (área entre z = 0 y z = 1.94) – (área entre z = 0 y z = 0.81)

= 0.4738 – 0.2910 = 0.1828

Hallar el área a la izquierda de z = -0.6

Solución:

Área pedida = (área a la izquierda de z = 0) – (área entre z = - 0.6 y z = 0)

= (área a la izquierda de z = 0) – (área entre z = 0 y z = 0.6)

= 0.5 – 0.2258 = 0.2742

Hallar el área a la derecha de z = -1.28

Solución:

Área pedida = (área entre z = -1.28 y z = 0) + (área a la derecha de z= 0)

= 0.3997 + 0.5 = 0.8997

Esto es lo mismo que P {z ≥ - 1.28}

Hallar el área a la derecha de z = 2. 05 y a la izquierda de z = -1.44

Solución:

Área pedida = área total – (área entre z = -1.44 y z = 0) – (área entre z = 0 y z = 2.05)

= 1 – 0.4251 – 0.4798

= 1- 0.9049 = 0.0951

Determinar el valor o valores de z en cada uno de los siguientes casos, donde el área dada se refiere a la curva normal.

El área entre 0 y z es 0.3770.

Solución:

La cantidad 0.3770 se localiza a la derecha de la fila que empieza por 1.1 y bajo la columna encabezada por 6. Entonces la z pedida es = 1.16

Por simetría, z = -1.16 es otro valor de z. Así, z = ± 1.16

El área a la izquierda de z es 0.8621

Solución:

Puesto que el área es mayor que 0.5 z debe ser positivo.

Área entre z y 0 = 0.8621 – 0.5 = 0.3621, de donde z = 1.09

El área entre -1.5 y z es 0.0217

Solución:

Si z fuese positivo el área seria mayor que el área entre -1.5 y 0, que es 0.4332; de aquí que z debe ser negativo.

Caso 1. Z es negativo, pero está a la derecha de -1.5

Área entre -1.5 y z = (área entre -1.5 y 0) – (área entre 0 y z)

0.0217 = 0.4332 – (área entre 0 y z)

Entonces el área entre 0 y z = 0.4332 – 0.0217

= 0.4115

De donde z = -1.35

Caso 2. Z es negativo y está a la izquierda de -1.5

Área entre z y -1.5 = (área entre z y 0) – (área entre -1.5 y 0)

0.0217 = (área entre 0 y z) – 0.4332

Entonces el área entre 0 y z = 0.0217 + 0.4332

= 0.4549

Y z =-1.694 mediante interpolación lineal;

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