ECUACIONES DE LA RECTA Y EL PLANO Rectas en el espacio
Isaac GuazoApuntes7 de Diciembre de 2015
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ECUACIONES DE LA RECTA Y EL PLANO
Rectas en el espacio
Consideremos la recta [pic 1]que pasa por [pic 2]y por [pic 3]. Esta recta es paralela al vector
[pic 4], por lo tanto, dado un punto [pic 5], se debe cumplir que
[pic 6]
de donde [pic 7].
[pic 8]
Figura 23. Ecuación vectorial de una recta
| Definición 1 |
Si [pic 9] es una recta que pasa por los puntos [pic 10] Si realizamos da diferencia de las coordenadas de estos dos puntos obtenemos Un vector que va del punto P al punto Q, así obtenemos [pic 11] Queda de la siguiente manera y si ponemos entonces
[pic 13]
[pic 16]
[pic 19] [pic 20] |
[pic 21]Como podemos escoger dos puntos cualesquiera (distintos) de una recta para obtener una ecuación, las ecuación de una recta no es única.
ECUACION DE LA RECTA EN FORMA SIMETRICA
1) A (1, 4, -9); B (10, 14, -2)
Solución
a1= ( x2 –x1 )=(10-1)=9
a2= ( y2 –y1 )=(14-4)=10
a3= ( z2 –z1 )=(-2+9)=7
[pic 22]
FORMA SIMETRICA [pic 23]
2) A (4, 2, 1); B (-7, 2, 5)
Solucion
de A a B
a = A - B
a1= ( x1 –x2 )=(4+7)=11
a2= ( y1 –y2 )=(2-2)=0
a3= ( z1 –z2 )=(1-5)=-4
[pic 24]
FORMA SIMETRICA [pic 25]
3) A (1, 2, 3); B (-6, 4, -3)
a1= ( x2 –x1 )=(-6-1)=-7
a2= ( y2 –y1)=(4-2)=2
a3= ( z2 –z1 )=(-3-3)=-6
[pic 26]
FORMA SIMETRICA [pic 27]
ECUACION DE LA RECTA EN FORMA PARAMETRICA
ENCONTRAR LAS ECUACIONES PARAMETRICAS DE LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS:
1) A (2, 3, 5); B (6, -1, 8);
Solución
si a = A-B se toma como referencia a B
(x, y, z)= (2+ t (6-2), 3+ t (-1-3), 5+ t (8-5))
(x, y, z)= (2+ t (4), 3+ t (-4), 5+ t (3))
x = 2+4 t;[pic 28]
y = 3 - 4 t; Ecuaciones Parametricas
z = 5+3 t;
2) A (1, 0, 0); B (3, -2, -7)
Solución
(x, y, z)= (1+ t (3-1), 0+ t (-2-0), 0+ t (-7-0))
(x, y, z)= (1+ t (2), t (-2), t (-7))
x = 1+2 t;[pic 29]
y = - 2 t; Ecuaciones Parametricas
z = -7 t;
3) A (5, -2, 4); B (2, 6, 1)
Solución
(x, y, z) = (5+ t (2-5), -2+ t (6+2), 4+ t (1-4))
(x, y, z) = (5+ t (-3), -2+ t (8), 4+ t (-3))
x = 5-3 t;[pic 30]
y = - 2 +8t; Ecuaciones Parametricas
z = 4-3 t;
4) Obtener las ecuaciones parametricas de la recta que pasa por P(6, 4, -2) y es paralela a la recta [pic 31]
Solución
t = x/2; t = 1-y / 3; t = z-5 /6;
x = 6+2 t;[pic 32]
y = 4 – 3 t; ecuaciones Parametricas
z = -2+6 t;
ECUACION EN FORMA VECTORIAL DE LA RECTA
1) P (1, 2, 1); Q (3, 5, -2);
[pic 33]
a =Q– P = ( x2 –x1, y2 –y1, z2 –z1 ) = ( a1 , a2, a3 )
(x, y, z)= P + t a
a = (3-1, 5-2, -2-1)= (2, 3, -3)
(x, y, z) = (1, 2, 1) + t (2, 3, -3)
2) P (10, 2, -10); Q (5, -3, 5);
[pic 34]
a =Q – P = ( x2 –x1, y2 –y1, z2 –z1 ) = ( a1 , a2, a3 )
(x, y, z)= P + t a
a = (3-1, 5-2, -2-1)= (2, 3, -3)
(x, y, z) = (1, 2, 1) + t (2, 3, -3)
3) P[pic 35]; Q[pic 36]
[pic 37]
a = P-Q = [pic 38]= [pic 39]
(x, y, z) = [pic 40] + t [pic 41]
A) Calcular el punto de intersección entra La y L b
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