ECUACIONES DIFERENCIALES MÉTODO POR SERIES DE POTENCIA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
darkrazielTrabajo9 de Mayo de 2019
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ECUACIONES DIFERENCIALES
UNIDAD DOS
ECUACIONES DIFERENCIALES MÉTODO POR SERIES DE POTENCIA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
Presentado a:
YENIFER ELIZABETH GALINDO
Tutor(a)
Entregado por:
WILLIAM LEONARDO NEIRA CUELLAR
Código: 1015413963
XxxxxxxXxxxxXxxxxx
Código: xxxxx
XxxxxxxXxxxxXxxxxx
Código: xxxxx
XxxxxxxXxxxxXxxxxx
Código: xxxxx
XxxxxxxXxxxxXxxxxx
Código: xxxxx
Grupo:xxxxxx
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS
CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
FECHA
BOGOTÁ D.C.
2019
INTRODUCCIÓN
OBJETIVOS
PASO 2
ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL
Tabla de elección de ejercicios:
Nombre del estudiante | Rol a desarrollar | Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1. |
El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 3Tipo de ejercicios. | ||
El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 3Tipo de ejercicios | ||
El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 3Tipo de ejercicios | ||
WILLIAM NEIRA | EVALUADOR | El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 3Tipo de ejercicios |
Ejemplo: Adriana Granados | Ejemplo: Líder | Ejemplo: Desarrollo el ejercicio a en todos los 3 Tipo de ejercicios. |
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA
PASO 3
EJERCICIOS INDIVIDUALES
A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.
TIPO DE EJERCICIOS 1 – MÉTODO DE SERIES DE POTENCIAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES
El método de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales es simple y natural, se empieza describiendo el procedimiento práctico y se ilustra con ecuaciones simples cuyas soluciones ya se conocen, con el fin de ver lo que está ocurriendo.
Para una ecuación dada:
[pic 2]
se representa primero y por series de potencias en potencias de (o de si se desea obtener soluciones de potencias de . En muchas ocasiones son polinomios y entonces no es necesario hacer nada en primer paso. Después se supone una solución en la forma de una serie de potencias con coeficientes desconocidos.[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]
[pic 9]
Y esta serie y la obtenida al derivar terminó a término:
[pic 10]
[pic 11]
Se introduce en la ecuación. A continuación se agrupan las potencias semejantes de y la suma de los coeficientes de cada potencia de que se presente se iguala a cero, empezando con los términos constantes, los términos que incluyen a , los términos que incluyen a etc. Se obtienen así relaciones a partir de las cuales es posible determinar de manera sucesiva los coeficientes desconocidos en .[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]
De acuerdo a lo anterior, resuelva por el método de series de potencias:
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: WILLIAM LEONARDO NEIRA CUELLAR | |
d. [pic 17] | |
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA | RAZÓN O EXPLICACIÓN |
[pic 18] | Expresamos la ED por serie de potencia para dar con su solución; aplicamos:[pic 19] De acuerdo a el ejercicio es necesario derivar esta expresión 2 veces. |
[pic 20] [pic 21] [pic 22] | Sustituimos los valores de las sumatorias sobre la ecuación diferencial. Los índices de la sumatoria y los índices de los exponentes de deben ser iguales, por lo tanto; aplicamos [pic 23] Factorizamos ya que tenemos términos semejantes en . De esta forma encontramos el coeficiente de recurrencia.[pic 24] |
[pic 25] [pic 26] [pic 27] [pic 28] [pic 29] [pic 30] | Despejamos el termino de mayor índice:[pic 31] Sustituimos valores para encontrar la formula general. De esta forma obtenemos los primeros coeficientes, en el cual la recurrencia esta basada en dos formas, los pares y los impares, reemplazando y operando finalmente obtenemos: Partiendo de estos coeficientes es posible expresarlos en suma de potencias: |
[pic 33] [pic 34] [pic 35] [pic 36] | Para poder unificar el numerador es necesario que tenga el mismo grado en el exponente, por lo tanto, se expresa . Sin embargo, la segunda parte debe ser multiplicada por 3 para poder expresarla como el exponente de x, si se multiplica la expresión por 3 deberá. dividirse por 3.[pic 37] Lo cual se puede expresar como: [pic 38] [pic 39] |
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: WILLIAM LEONARDO NEIRA CUELLAR | |
d. [pic 40] | |
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA | RAZÓN O EXPLICACIÓN |
[pic 41] | Utilizamos una de las propiedades de linealidad que expresa [pic 42] |
[pic 43] [pic 44] [pic 45] | Para dar solución aplicamos .[pic 46] Por medio de integración por partes damos solución a la integración, aplicamos: [pic 47] Tenemos una resta de limites |
[pic 48] [pic 49] | Para dar solución a esta resta debemos evaluar la segunda parte en el primer término de la integral. Por lo que se anulan la mayoría de los términos, dejando únicamente tres términos en la expresión.[pic 50][pic 51] Evaluamos cada termino como un límite individual. |
[pic 52] [pic 53] [pic 54] [pic 55] [pic 56] [pic 57] [pic 58] [pic 59] [pic 60] | Para dar solución a los dos limites lo realizamos por medio de comparación, donde evaluamos a sen y cos entre sus limites. Obeniendo como resultado cero; por lo tanto la solución de la transformada de laplace correponde al tercer termino , al mutltiplicarla por la unidad que se tenia como constante obtenemos el mismo resultado.[pic 61] |
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: | |
d. [pic 62] | |
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA | RAZÓN O EXPLICACIÓN |
[pic 63] [pic 64] [pic 65] [pic 66] | Aplicamos la formula [pic 67] Para encontrar el valor de , para facilitar el procedimiento sustituimos el valor de .[pic 68][pic 69] Reemplazamos los valores obtenidos |
[pic 70] [pic 71] [pic 72] [pic 73] [pic 74] [pic 75] | Por medio de la formula , encontramos el valor de .[pic 76][pic 77] Necesitamos despejar L por lo tanto movemos las variables que eviten la factorización -s +1. Aplicamos factor común. Pasamos a dividir despejando completamente L.[pic 78] Volvemos el valor inicial de L a [pic 79] Teniendo los términos despejados aplicamos transformada de Laplace inversa |
[pic 80] | Aplicamos las propiedades de la multiplicación para distribuir el primer término. |
[pic 81] [pic 82] [pic 83] [pic 84] | Aplicamos las siguientes inversas de Laplace: [pic 85] [pic 86] [pic 87] Para determinar el segundo y cuarto termino que tienen la misma estructura es necesario multiplicarlos por 2 y dividirlos por 2 para obtener el valor de la formula, finalmente: |
[pic 88] | De esta forma obtener el resultado final. |
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