EJERCICIO ANOVA DE DOS FACTORES

EJERCICIO ANOVA DE DOS FACTORES

Caso 1

[pic 1]

Solución

1. Identificación de variables:

Variable dependiente: Concentración de ácido ascórbico (mm/L)

Variables independientes:

• Factor A: Tipo de concentrado de jugo de naranja(A1, A2, A3)
• Factor B: Tiempo antes de la mezcla (en días)

1. Hipótesis estadísticas

FACTOR A

Ho: μA1 = μA2= μA3

H1: Por lo menos una media es diferente.

FACTOR B

Ho: μ0= μ3= μ7

H1: Por lo menos una media es diferente

INTERACCIÓN AB

Ho: No existe interacción entre el tipo de concentrado y el tiempo antes de la mezcla.

H1: Existe interacción entre el tipo de concentrado y el tiempo antes de la mezcla.

1. Análisis descriptivo:

> datos1$marca=as.factor(datos1$marca)

> datos1$dias=as.factor(datos1$dias)

> str(datos1)

'data.frame':        36 obs. of  3 variables:

 $ concentracion: num  52.6 49.8 56 49.6 52.5 51.8 54.2 46.5 48 48.4 ...

 $ marca        : Factor w/ 3 levels "A1","A2","A3": 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 ...

 $ dias         : Factor w/ 3 levels "0","3","7": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...

> library(ggplot2)

> p1 <- ggplot(data = datos1, mapping = aes(x = marca, y = concentracion)) +

+   geom_boxplot() +

+   theme_bw()

> p2 <- ggplot(data = datos1, mapping = aes(x = dias, y = concentracion)) +

+   geom_boxplot() +

+   theme_bw()

> library(gridExtra)

> grid.arrange(p1, p2,ncol = 2)

[pic 2]

En el gráfico de cajas se observa que no existen diferencias entre la marca empleada. La marca A1 presenta tendencia hacia la asimetría negativa mientras que la marca 3, hacia la asimetría positiva. Respecto a los días se observa una relación inversa entre días y la cantidad de concentración, es decir, mientras mayor sea el tiempo para realizar la mezcla la cantidad de ácido ascórbico producida es menor.

> p3 <- ggplot(data = datos1, mapping = aes(x = marca, y = concentracion, colour =dias)) +

+   geom_boxplot() +

+   theme_bw()

> p3

[pic 3]

El gráfico de cajas muestra una tendencia de una mayor concentración de ácido ascórbico para un tiempo de mezcla de cero días en comparación con tiempo de mezcla de días 3 y 7 en las marcas aplicadas.

> with(data = datos1,expr = tapply(concentracion, marca, mean))

      A1       A2       A3

48.10000 46.63333 48.95000

> with(data = datos1,expr = tapply(concentracion, marca, sd))

      A1       A2       A3

4.359942 4.098632 3.078223

No existe diferencias tan marcadas al comparar las marcas  al evaluar la concentración promedio  de ácido ascórbico y la variabilidad es similar en los grupos.

> with(data = datos1,expr = tapply(concentracion, dias, mean))

       0        3        7

51.25000 47.21667 45.21667

> with(data = datos1,expr = tapply(concentracion, dias, sd))

       0        3        7

2.814088 3.271317 3.008725

Se muestra que existen diferencias marcadas al comparar las marcas al evaluar la          concentración promedio de ácido ascórbico y la variabilidad es similar en los grupos.

> with(data = datos1,expr = tapply(concentracion, list(marca,dias), mean))

        0     3      7

A1 50.775 48.65 44.875

A2 50.500 44.80 44.600

A3 52.475 48.20 46.175

> with(data = datos1,expr = tapply(concentracion, list(marca,dias), sd))

           0        3        7

A1 3.3807051 4.312385 3.982775

A2 3.7291643 2.771281 3.174902

A3 0.8057088 1.070825 2.315707

Se observa una mayor concentración promedio de ácido ascórbico para un tiempo de mezcla de cero días en comparación con tiempo de mezcla de días 3 y 7 en las marcas aplicadas. La marca 3 presenta menor variabilidad en la cantidad de días antes de la mezcla.

1. ANOVA

> anova_2vias <- aov(formula = concentracion ~ marca*dias, data = datos1)

> summary(anova_2vias)

            Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    

marca        2  32.96   16.48   1.751 0.192749    

dias         2 226.68  113.34  12.041 0.000183 ***

marca:dias   4  17.30    4.33   0.460 0.764691    

Residuals   27 254.14    9.41                    

---

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

A un nivel de confianza del 5%, existe evidencia estadística para No rechazar la hipótesis nula para el factor A, es decir, la marca empleada no influye en la concentración final de ácido ascórbico.

A un nivel de confianza del 5%, existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula para el factor B, es decir, el tiempo transcurrido (en días) antes de la mezcla empleada sí influye en la concentración final de ácido ascórbico.

A un nivel de confianza del 5%, existe evidencia estadística para No rechazar la hipótesis nula para la interacción entre el factor A y B, es decir, la interacción entre la  marca empleada y el tiempo transcurrido (en días) antes de la mezcla no influye en la concentración final de ácido ascórbico.

>   library(effectsize)

> effectsize(anova_2vias)

# Effect Size for ANOVA (Type I)

Parameter  | Eta2 (partial) |       90% CI

------------------------------------------

marca      |           0.11 | [0.00, 0.29]

dias       |           0.47 | [0.22, 0.63]

marca:dias |           0.06 | [0.00, 0.14]

El factor B, tiempo transcurrido (en días) antes de la mezcla presenta un mayor efecto en la variabilidad de la concentración de ácido ascórbico producido.

1. Comparaciones

Puesto que el factor B influye en la concentración de ácido ascórbico se procedió a realizar las comparaciones de Tukey.

> TukeyHSD(anova_2vias,"dias")

  Tukey multiple comparisons of means

    95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = concentracion ~ marca * dias, data = datos1)

$dias

         diff       lwr        upr     p adj

3-0 -4.033333 -7.138813 -0.9278536 0.0090290

7-0 -6.033333 -9.138813 -2.9278536 0.0001434

7-3 -2.000000 -5.105480  1.1054797 0.2642574

Se observa que las pruebas de comparación resultan significativas al comparar los días 0 y 3; así como al comparar los días 0 y7. En ambos intervalos los límites son negativos, es decir, los días 3 y 7 tienen un efecto menor que el día 0. Por el contrario, el intervalo muestra que compara los días 3 y 7 el contiene el valor de cero, lo que indica que ambos días producen el mismo efecto promedio.

1. Condiciones para analizar el ANOVA

> par(mfrow=c(2,2))

> plot(anova_2vias)

[pic 4]

Se observa que no existe un patrón el grafico de valores predichos vs residuales, lo cual es evidencia de la homocedasticidad del modelo. El grafico QQ muestra que la mayoría de los puntos se ajustan a la distribución Normal salvo las observaciones 3, 14 y 21.

1. Conclusiones

• La marca empleada no influye en la concentración final de ácido ascórbico.
• El tiempo transcurrido (en días) antes de la mezcla empleada sí influye en la concentración final de ácido ascórbico. Se recomienda efectuar el mismo día (día cero) la mezcla para obtener ácido ascórbico.
• La interacción entre la  marca empleada y el tiempo transcurrido (en días) antes de la mezcla no influye en la concentración final de ácido ascórbico.

Caso 2

[pic 5]

Solución

1. Identificación de variables:

Variable dependiente: Concentración de ácido ascórbico (mm/L)

Variables independientes:

• Factor A: Sujeto en dónde se aplica (1, 2 y 3)
• Factor B: Músculo (1, 2, 3, 4 y 5)

1. Hipótesis estadísticas

FACTOR A

Ho: μ1 = μ2= μ3

H1: Por lo menos una media es diferente.

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