Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden

se les conose a las Ecuación de Bernoulli que son de la forma

[pic 1]

Solución general de ecuaciones diferenciales de segundo orden

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Las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales son de gran importancia tanto teórica como práctica. En la práctica las ecuaciones diferenciales ordinarias se aplican en las ciencias e ingeniería.

Para esta unidad 2, se darán a conocer métodos importantes de aquellas ecuaciones diferenciales de segundo orden y de orden n.

Una ecuación de segundo orden generalmente se describe como sigue:

y’’ + P(x) y’ + Q(x) y = R(x)(1)

Una ecuación de orden n se escribirá de la siguiente forma:

a0(x)yn + a1(x)yn-1 + … + an-1(x)y’ + an(x)y = R(x)(2)

Dondea0,a1,…, an y R son funciones reales continuas en el intervalo cerrado [a, b].

Ahora miremos un teorema importante para determinar la solución de una ecuación diferencial.

Teorema:

Si Yc es la solución general de la ecuación diferencialreducida y’’ + P(x) y’ + Q(x) y = 0, y Yp es una solución particular de la ecuación diferencial y’’ + P(x) y’ + Q(x) y = R(x), entonces Yc + Yp es la solución general de (1).

Por analogía del algebra lineal la solución:

C1 Yc(x) + C2 Yp(x)

Se dice es una combinación lineal de las soluciones Ycy Yp. Por lo tanto cualquier combinación lineal de dos soluciones de la ecuación diferencial (2) es también solución.

Definición:

Si Ycy Yp son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial

y’’ + P(x) y’ + Q(x) y = 0, en un intervalo [a, b], entonces C1 Yc(x) + C2 Yp(x) es la solución general de la ecuación diferencial y’’ + P(x) y’ + Q(x) y = 0.

Para determinar si las soluciones son linealmente independientes se introduce el concepto de Wronskiano de estas funciones.

Teorema:

Si f1, f2,…,fnson n soluciones de la ecuación diferencial homogénea, y cada función real f es derivable hasta el orden n-1 en el intervalo [a, b], entonces el determinante:

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Se llama Wronskiano.

Teorema:

Dos soluciones y1 y y2 de la ecuación y’’ + P(x) y’ + Q(x) y = 0, en[a, b] son linealmente independientes si y solo si su Wronskiano es diferente de cero. Si el Wronskiano es igual a cero las soluciones son linealmente dependientes.

Ejemplo:

Probar que y= c1sen x + c2cos x es la solución de y’’ + y = 0 sobre cualquier intervalo y halle la solución particular si y(0)=1 e y’(0)=2.

Solución:

Hacemos a y1=sen xy y2=cos x que son soluciones y se comprueba reemplazando en la ecuación diferencial. Ahora se prueba que son linealmente independientes con el Wronskiano.

[pic 3]

Como es diferente de cero entonces las soluciones son linealmente independientes.

Ahora hallamos una solución particular reemplazando los datos dados en la ecuación diferencial:

c1sen 0 + c2cos 0 =1

c1cos 0 – c2 sen 0 =2

Entonces tenemos que C1= 1 y C2= 2, luego la solución particular será y = sen x + 2cos x