Ecuaciones Diferenciales De Segundo Ordem

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Definición: Una ecuación lineal general de segundo orden puede escribirse de la siguiente forma:

I A(x)y´´+B(x)y´+C(x)y=F(x), A(x) ≠0

Si dividimos las expresión por A(x) tenemos

y´´+(B(x))/(A(x)) y´+(C(x))/(A(x)) y=(F(x))/(A(x)) II

Luego sea

P(x)=(B(x))/(A(x)) Q(x)=(C(x))/(A(x)) R(x)=(F(x))/(A(x))

La ecuación II se puede escribir así

y´´+P(x)y´+Q(x)y=R(x) III

O bien

(d^2 y)/〖dx〗^2 +P(x) dy/dx+Q(x)y=R(x)

Consideremos la ecuación lineal homogénea asociada a III y´´+P(x)y´+Q(x)y=0 IV una propiedad útil de la ecuación lineal homogénea es que la suma de dos soluciones cualquiera de IV también es solución, así como cualquier múltiplo (una constante) de una solución.

El siguiente teorema afirma lo dicho anteriormente

TEOREMA: PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

Sean y_1 ˰ y_2 dos soluciones de la ecuación lineal homogénea IV. Si C_1 ˰ C_2 son constantes entonces la combinación lineal y=C_1 y_1+C_2 y_2 también es una solución de IV.

DEMOSTRACIÓN

Consideremos la ecuación lineal homogénea IV y´´+Py´+Qy=0, como y=C_1 y_1+C_2 y_2 es una solución de IV debe satisfacerla, derivemos la solución

y´=C_1 y_1´+C_2 y_2´ Ahora derivamos de nuevo

y´´=C_1 y_1´´+C_2 y_2´´ Sustituimos y´ ˰ y´´ en la ecuación dada

y´´+Py´+Qy=C_1 y_1´´+C_2 y_2´´+P(C_1 y_1´+C_2 y_2´)+Q(C_1 y_1+C_2 y_2)

= C_1 y_1´´+C_2 y_2´´+PC_1 y_1´+PC_2 y_2´+QC_1 y_1+〖QC〗_2 y_2

=C_1 (y_1´´+Py_1´+Qy_1 )+C_2 (y_2´´+Py_2´+Qy_2)

=C_1 (0)+C_2 (0)

=0+0

= 0 ■

Puesto que y_1 ˰ y_2 son soluciones, así y=C_1 y_1+C_2 y_2 también es una solución

Ejemplo

Comprobar que y_1=cos⁡x y y_2=sen x son soluciones de la ecuación y´´ + y=0 y mediante el teorema anterior probar que cualquier combinación lineal de y_1 ˰ y_2 son soluciones.

Solución:

Tenemos que y´´ + y = 0 I y las soluciones y_1=cos⁡x y y_2=sen x

Probemos

y_1=cos⁡x (A)

y_1´= -sen x (B)

y_1´´=-cos⁡x (C)

Sustituyendo A y C en la ecuación I tenemos

y´´ + y = 0

-cos⁡x+cos⁡x=0

0 = 0 Si es una solución

Ahora

y_2=sen x (D)

y_2´=cos⁡x (E)

y_2´´=-sen x (F)

Sustituyendo D y F en I tenemos

y´´ + y = 0

-sen x+sen x=0

0 = 0 Si es una solución

Ahora comprobemos que cualquier combinación lineal de estas soluciones también es solución, ya sea:

y=3y_1-2y_2 II

Reemplacemos los valores de y_1 ˰ y_2 en II entonces tendremos

y=3 cos⁡x-2sen x III

Derivando tenemos

y´=-3senx-2cosx

Derivando nuevamente a y´´ tenemos

y´´=-3 cos⁡x+2sen x IV

Sustituyendo III y IV en I

y´´ + y = 0

-3 cos⁡x+2sen x+3 cos⁡x-2sen x=0

0 = 0

Por tanto la combinación lineal y=3y_1-2y_2 es también una solución de I.

PROBLEMAS DE VALORES INICIALES

Definición: Una ecuación diferencial lineal de segundo orden y´´+P(x)y´+Q(x)y=f(x), que satisface las condiciones iniciales y(a)=b_o

...