Ecuaciones diferenciales - ejercicios resueltos
Enviado por Fernando Atalaya • 13 de Febrero de 2019 • Trabajos • 8.366 Palabras (34 Páginas) • 320 Visitas
“UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO”[pic 1]
Escuela profesional de ingeniería electrónica
Cálculo con aplicaciones
Ecuaciones diferenciales de variables separables
Si la ecuación diferencial puede reducirse a la forma
M (x)dx + N( y)dy = 0
la solución general se obtiene por integración directa
∫ M (x)dx + ∫ N ( y)dy = C
donde C es una constante arbitraria. Ejemplos
1.- Determinar la solución general de
dy = 3x 2[pic 2]
dx
dy = 3x2 dx
∫ dy = ∫3x 2dx + C
y = x3 + C
2.- Determine la solución general de la ecuación
xy(1 + y 2 )dx − (1 + x2 )dy = 0
dividiendo entre
y(1 + y 2 )(1 + x2 )
se obtiene
xdx
1 + x 2[pic 3]
- dy = 0
y(1 + y 2 )[pic 4]
integrando término a término
xdx −[pic 5][pic 6][pic 7]
1 + x 2
dy y(1 + y 2 )
= C1[pic 8]
se tiene
1 ln(1 + x 2[pic 9]
) − 1 ln[pic 10]
y 2
1 + y 2[pic 11][pic 12]
= 1 LnC
ln(1 + x 2
) − ln
y 2
1 + y 2[pic 13]
= ln C
(1 + x 2 )(1 + y 2 )
ln[pic 14]
y 2
= ln C
(1 + x 2 )(1 + y 2 )[pic 15]
C[pic 16]
y 2
después de simplificar se tiene la solución en forma implícita
(1 + x2 )(1 + y 2 ) = Cy2
3.- Determine la solución general y la curva particular que pasa por el punto (0,0) de la ecuación diferencial
ex cos y dx + (1 + ex ) sen y dy = 0
dividir por
cos y(1 + ex ) para obtener
exdx + sen y dy =
[pic 17][pic 18]
1 + ex
0
cos y
integrando se llega a
ex dx +[pic 19][pic 20]
1 + e
∫ tan y dy = C1
ln(1 + ex ) − ln(cos y) = ln C
1 + ex = C cos y
sustituyendo el punto (0,0) en esta solución obtenemos
1+1 = C cos(0)
∴C = 2
La solución particular que pasa por el punto (0,0) es por tanto
1 + ex = 2 cos y
4.- Hallar la solución particular de la ecuación[pic 21]
(1 + ex ) yy′ = ex que satisface la
condición inicial
y x=0 = 1.
...