Examen resuelto Derivando la ecuacion
Enviado por Alexis Tejada • 13 de Octubre de 2021 • Exámen • 1.146 Palabras (5 Páginas) • 54 Visitas
SOLUCIONARIO HITO 2 2020-1
[pic 1]
SECCIÓN 3.00
[pic 2]
PREGUNTA 1:
Suponga que una especie de árbol, destinado a la producción de madera, crece según el modelo
logístico h(t) = A− en metros, donde k=0.25 (Ver gura). Una fórmula para determinar el volumen[pic 3][pic 4][pic 5]
de un árbol en metros cúbicos es V = π D2hf donde D es el diámetro en metros , h la altura del tronco del árbol en metros y f=0.85 es un factor de la forma del árbol.[pic 6]
[pic 7]
- (2 puntos) A partir de la gura determine los valores de A y B de la función h(t) SOLUCIÓN:
Sabemos que h(t) = A , por la grá ca podemos darnos cuenta que A=12 y dicha gra ca pasa por el punto (0,2).[pic 8]
12
h(0) = 2 = → B = 5 1 + Be−0,25(0)[pic 9]
por lo tanto
h(t) =
12
[pic 10]
1 + 5e−0,25t
(1)
(4 puntos) Calcule con qué rapidez varía el diámetro D a los 5 años, si la rapidez con la que crece su volumen es 1, 34m3/an˜o y en ese momento alcanza un diámetro de 1,5 m.[pic 11]
SOLUCIÓN:
Sabemos que D = D(t) y h = h(t) , ademas f = 0,85
V (t) = π D2(t).h(t)f = 0,66D2(t).h(t) (2)[pic 12]
4
derivando la expresion anterior tenemos
dV = 0,66[2D(t) dD h(t) + dh D2(t)] (3)[pic 13][pic 14][pic 15]
dt
Derivando la ecuacion (1) tenemos
dt dt
dh = 12( 1)(1 + 5e−0,25t)−2( 0,25)5e−0,25t (4)[pic 16]
dt
evaluamos en t=5 → dh = 0.72 , ademas h(5) = 4.93 y D(5) = 1.5. Ahora reemplazando en la[pic 17]
ecuacion (3)
dD dD
1.34 = 0.66[2(1.5) (4.93) + 0.72(1.5)2] → = 0.027[pic 18][pic 19]
(4 puntos) Si la altura h es el triple del diámetro D, calcule con qué rapidez varía el volumen del árbol en el momento en que la tasa de crecimiento de su altura es máxima.[pic 20]
SOLUCIÓN:
Tenemos que h(t) = 3D(t) reemplazando esto en la ecuacion (2) tenemos
V (t) = 0.66.( h(t))2h(t) V (t) = 0.07h3(t)[pic 21]
3
derivando la expresion anterior tenemos
dV dt[pic 22]
= (0.07)3h2 dh[pic 23]
dt
(5)
para h = 6 (en este instante la tasa empieza a disminuir) tenemos que t = 6.5(por la gra ca) y reemplazando en la ecuacion (4) obtenemos que dh = 0.74[pic 24]
ahora reemplazamos estos valores en la ecuacion (5)
dV = (0.07)3(6)2(0.74) = 5.59[pic 25]
dt
CRITERIOS DE PUNTUACION
PREGUNTA | LOGRO A EVALUAR | PUNTOS | OBSERVACIONES |
a) (2 puntos) | Identi ca A en la grá ca parcialmente o correctamente a partir de la grá ca | 1.0 | Debemos tener presente en este problema que el alumno puede que no haya recibido la corrección del mismo. La ecuación con error para h(t)= A/( 1+ B^(-kt)) , es decir sin la constante e .Si consiguió el parámetro B puede ser conseguido usando el valor de k usando otro valor diferente de 0. El el problema radica en que si mantenemos este modelo nunca pasará por (0,2) sino siempre debería pasar por (0,6) |
Determina B con el dato adecuado | 1.0 | ||
b) (4 puntos) | Calcula la derivada de dV/dt correctamente | 1.0 | |
Calcula h(t) para el valor t dado | 0.5 | ||
Calcula dh/dt en t dado | 1.5 | ||
Despeja y calcula dD/dt | 1.0 | ||
c) (4 puntos) | Reemplaza D=h/3 en V(t) | 1.0 | |
Identi ca h y t en la grá ca. (También puede obtener t calculando el punto de in exión) | 1.0 | ||
Calcula dh/dt | 1.0 | Considerar puntaje por avance si solo deriva bien sin calcular | |
Calcula dV/dt | 1.0 | IDEM |
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