FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO COLABORATIVO CÁLCULO III
Enviado por karensamuel • 12 de Noviembre de 2018 • Trabajos • 1.020 Palabras (5 Páginas) • 721 Visitas
FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO COLABORATIVO CÁLCULO III
Spira Mirabilis
Las espirales son curvas que tiene una presencia importante en la naturaleza. Así podemos encontrarlas en el caparazón de los caracoles, en trompas y las de animales, en serpientes enrolladas, en plantas y flores (particularmente en girasoles) y más aún encontrarlas en las huellas dactilares, en adornos, dibujos y esculturas.
EJERCICIOS
La espiral logarítmica, llamada la spira mirabilis o eadem mutata resugno es una
Curva paramétrica de la forma.
[pic 1]
Donde a y b son números reales positivos.
[pic 2]
Se quiere estudiar una propiedad geométrica de la espiral logarítmica que involucra el ángulo entre su línea radial y su línea tangencial. Efectúe los siguientes cálculos para comprobar la propiedad:
- MUESTRE QUE LA MAGNITUD DE LA CURVA, [pic 3]
- Se requiere calcular por medio de una operación de elevar al cuadrado cada componente de y sacando una operación pitagórica sacando su raíz cuadrada para conocer su magnitud.[pic 4][pic 5]
[pic 6]
- Se operan los paréntesis y operan términos.
[pic 7]
[pic 8]
- Se usa la identidad pitagórica mencionada anteriormente y de esa forma se halla su magnitud
[pic 9]
[pic 10]
- MUESTRE QUE EL VECTOR TANGENTE A LA CURVA ES :
[pic 11]
- Se debe hallar el vector tangente a la curva por medio de una derivada a cada componente.
[pic 12]
[pic 13]
- Pero se nos presenta un caso donde se hace uso de la regla del producto para derivadas.
[pic 14]
- Ya se opera el producto y solo es usar factorización para los términos comunes de [pic 15]
[pic 16]
- MUESTRE QUE LA RAPIDEZ DE LA CURVA ESTA DADA POR LA EXPRESION.
[pic 17]
- Para obtener la rapidez de la curva se usa la magnitud del vector tangente de la curva desarrollado anteriormente.[pic 18]
[pic 19]
- Se factoriza el termino [pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
- Se simplifican términos semejantes por medio de factorización de términos comunes.
[pic 25]
- Se usa la identidad Pitagórica expresada en tal como en el caso anterior y se halla la rapidez de la curva.[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
- TENIENDO EN CUENTA LOS RESULTADOS OBTENIDOS HASTA EL MOMENTO, MUESTRE QUE EL ANGULO ENTRE LA CURVA Y SU VECTOR TANGENTE DEPENDE DE LA EXPRESION:
[pic 29]
- Se dice que el Angulo entre la curva y el vector tangencial se calcula por medio del producto punto.
[pic 30]
[pic 31]
- Se factoriza los términos comunes
[pic 32]
- Se simplifican términos semejantes
[pic 33]
- Se aplica el producto punto quedando
[pic 34]
[pic 35]
- Se usa la identidad pitagórica de [pic 36]
[pic 37]
- Siendo esta la expresión del valor correcto del Angulo entre la curva y el vector tangente.
- SI B → 0 ¿QUÉ PUEDE CONCLUIR ACERCA DEL ÁNGULO, LA LÍNEA RADIAL Y TANGENCIAL?
[pic 38]
...