Feria De Ciencias:matematica

La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.

El 2 se calcula sumando (1+1)

Análogamente, el 3 es sólo (1+2),

Y el 5 es (2+3),

¡y sigue!

Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) = 55

¡Así de simple!

Aquí tienes una lista más larga:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, ...

¿Puedes encontrar los siguientes números?

La regla

La sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla" (lee sucesiones y series):

la regla es xn = xn-1 + xn-2

donde:

xn es el término en posición "n"

xn-1 es el término anterior (n-1)

xn-2 es el anterior a ese (n-2)

Por ejemplo el sexto término se calcularía así:

x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8

Razón de oro

Y hay una sorpresa. Si tomas dos números de Fibonacci consecutivos (uno detrás del otro), su cociente está muy cerca de la razón aúrea "φ" que tiene el valor aproximado 1.618034...

De hecho, cuanto más grandes los números de Fibonacci, más cerca está la aproximación. Probemos con algunos:

A B   B / A

2 3   1.5

3 5   1.666666666...

5 8   1.6

8 13   1.625

... ...   ...

144 233   1.618055556...

233 377   1.618025751...

... ...   ...

Usar la razón de oro para calcular números de Fibonacci

Y es más sorprendente todavía esta fórmula para calcular cualquier número de Fibonacci usando la razón de oro:

Increíblemente el valor siempre es un número entero, exactamente igual a la suma de los dos términos anteriores.

Ejemplo:

Cuando usé una calculadora para hacerlo (con sólo 6 decimales para la razón aúrea) obtuve la respuesta 8.00000033. Un cáculo más exacto habría dado un valor más cercano a 8.

¡Prueba tú mismo!

¿Cuánto se gira?

Así que, si fueras una planta, ¿cuánto girarías entre células nuevas?

Si no giras nada, tienes una línea recta.

Pero es un mal diseño... quieres algo redondo que se mantenga junto sin huecos.

¿Por qué no intentas encontrar el mejor valor tú mismo?

Prueba distintos valores, como

0,75,

0,9,

3,1416,

0,62

etc,

Recuerda, ¡estás intentando encontrar un patrón sin huecos de principio a fin!

(Por cierto, no importa la parte entera del número, como 1. o 5. porque son vueltas completas que te ponen otra vez en la misma dirección.)

Esta animación necesita un Reproductor de Flash. Lee más abajo para saber cómo funciona la animación*

¿Qué has encontrado?

Si encontraste algo parecido a 0,618 (o 0,382, que es 1-0,618) entonces "¡Enhorabuena, eres un buen miembro del reino animal!"

Eso es porque la razón de oro (1,61803...) es la mejor solución a este problema, y el girasol lo sabe.

Prueba tú... debería parecerse a esto.

¿Por qué?

Porque si eliges un número que sea una fracción simple (ejemplo: 0,75 es 3/4, y 0,95 es 19/20, etc), acabarás teniendo un patrón de líneas que se juntan, y por tanto muchos huecos.

Pero la razón de oro (su símbolo es la letra griega Phi, a la izquierda) es un experto en no ser una fracción.

Es un número irracional (esto quiere decir que no lo puedes escribir en fracción), pero es más que eso... está tan lejos como se puede de ser una fracción.

Sólo ser irracional no basta

Pi (3,141592654...) es irracional.

Pero está muy cerca de 1/7 (= 0,142857...), así que acabamos con 7 brazos.

e (2,71828...) también es irracional, tampoco funciona porque está cerca de 5/7 (0,714285...), así que al final también tenemos 7 brazos.

Entonces, ¿cómo funciona la razón de oro?

Una de las propiedades especiales de la razón de oro es que se puede escribir en términos de sí misma, así:

  (con números: 1,61803... = 1 + 1/1,61803...)

Esto se puede escribir con una fracción que no acaba nunca (llamada una "fracción continua"):

Así que cae limpiamente entre fracciones.

Números de Fibonacci

Hay una relación especial entre la razón aúrea y los números de Fibonacci (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... etc, cada número es la suma de los dos números delante de él).

Si tomas dos números de Fibonacci consecutivos (uno detrás del otro), su cociente está muy cerca de la razón de oro:

A B   B / A

2 3   1,5

3 5   1,666666666...

5 8   1,6

8 13   1,625

13 21   1,615384615...

... ...   ...

144 233   1,618055556...

233 377   1,618025751...

... ...   ...

Así que, igual que salen siete brazos de manera natural cuando usas 0,142857 (1/7), suelen aparecer números de Fibonacci cuando usas la razón de oro.

Prueba a contar los brazos en espiral - las espirales "a izquierda", y después "a derecha"... ¿qué números salen?

Crecimiento en espiral

Este comportamiento tan interesante no sólo aparece en las semillas de girasol.

Hojas, ramas y pétalos también pueden crecer en espiral.

¿Por qué? Para que las hojas nuevas no bloqueen el sol a las hojas antiguas, o para que la mayor cantidad posible de lluvia llegue a las raíces.

De hecho, si una planta tiene espirales, la rotación tiende a ser una fracción hecha con dos números de Fibonacci consecutivos, por ejemplo:

Media rotación es 1/2 (1 y 2 son números de Fibonacci)

3/5 también es normal (los dos son números de Fibonacci), y

5/8 también (¡sí, lo has adivinado!)

todas se acercan más y más a la razón de oro.

Y por eso los números de Fibonacci son muy comunes en plantas. 1,2,3,5,8.13,21,... etc aparecen en un número increíble de sitios.

Aquí tienes una margarita con 21 pétalos

(pero puede haber alguno más o menos, porque

alguno puede haberse caído o estar creciendo)

Ángulo de oro

Hasta ahora hemos hablado de "giros" (rotaciones completas).

El equivalente a 0,61803... rotaciones es 222,4922... grados, o aproximadamente 222,5°.

En la otra dirección son 137,5°, llamados "el ángulo de oro".

Así que, la próxima vez que pasees por un jardín, busca el ángulo de oro,

y cuenta pétalos y hojas para encontrar los números de Fibonacci,

¡y descubre lo sabias que son las plantas... !

Ejercicio

Por qué no sales ahora al jardín o al parque, y empiezas a contar hojas y pétalos, y mides ángulos a ver qué encuentras.

Puedes escribir los resultados de esta forma:

Nombre o descripción de la planta:

¿Las hojas crecen en espirales? S / N  

Cuenta un grupo de hojas:  

  ¿Cuántas hojas (a)?  

  ¿Cuántos giros completos (b)?  

  Giro por hoja (b/a):  

  Ángulo de giro (360 × b/a):  

¿Hay flores? S / N  

  Cuántos pétalos en la flor 1:  

  Flor 2:  

  Flor 3:  

(Pero recuerda, aunque la naturaleza siga reglas matemáticas los resultados no son perfectos siempre)

* Notas sobre la animación

Las semillas de girasol crecen desde centro hacia fuera, pero en la animación es más fácil dibujarlas semillas más jovenes primero y después añadir las más antiguas.

La animación debería continuar hasta alcanzar al girasol - esto serían 55 espirales a la derecha y 34 a la izquierda (números consecutivos de Fibonacci). Simplemente no he querido que tardara demasiado.

Las espirales no son parte del programa - aparecen de manera natural cuando intentas poner las semillas tan cerca unas de otras como sea posible manteniendo la rotación correcta.

os trucos de Fibonacci

Leonardo de Pisa (1170 - 1250), también conocido como Fibonacci, fue uno de los matemáticos más importantes de la Edad Media en Europa. Hizo contribuciones a la aritmética, al álgebra y a la geometría.

Una sucesión de números muy conocida y usada en matemáticas es justamente la sucesión de Fibonacci, que se construye de la siguiente manera:

a) La sucesión empieza con dos unos.

b) Cualquier término de la sucesión se obtiene de sumar los dos anteriores. Por ejemplo, el noveno término de la sucesión se construye sumando el séptimo y el octavo.

c) La sucesión es infinita

Así la sucesión de Fibonacci es:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,

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