Geometría Analítica proyecto grupal

GRUPO #2

“Los Randoms”                                                     UNIDAD # 2

• Andrea Belén Mina Rivadeneira                               Título: Geometría Analítica
• Ericka Alexandra Hinostroza Peñafiel
• Leonel Alexander Astudillo Aquino
• Christian Paul Guillen Chica
• Eladio Miguel Palma Yunga        
• Jorge Alejandro Rodríguez Ruiz

2.2 Ecuación de la recta

La recta se la puede determinar como un par ilimitado de puntos  seguidos unos tras de otros, es decir consecutivos, encaminados en una sola seña. 

[pic 1]

La Ecuación de la recta  tomo ese nombre  ya que proviene de una función algebraica.

La formulación de la misma, depende claramente de los puntos que se conozca y de la ubicación de los mismos

Ecuación General De La Recta

Para definir su composición solo vasta conocer los puntos (A, B), en los ejes X y Y

Existen diversas ecuaciones de la recta, tales como:

2.2.1 Ecuación Punto - Pendiente

Antes que nada hay que saber que es una pendiente, se la puede llamar como la tangente de recta conformada con desplazamiento en el eje X y en el eje Y.

La siguiente formula se la utiliza cuando se conocen dos puntos de la recta.

[pic 2]

Para determinar la ecuación punto y endiente, hay que comenzar desde lo elemental, desde la ecuación definida por dos puntos.

[pic 3]

Desemejando Y

[pic 4]

 [pic 5]

[pic 6]

Y[pic 7]

 +  (Y1 – mX2)[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

2.2.2 Ecuaciones Paramétricas

Antes que nada hay que conocer sobre la ecuación definida por dos puntos y un vector paralelo.

[pic 11]

                                        [pic 12][pic 13]

Se parte desde la ecuación de la recta definida por dos puntos.

[pic 14]

Se la iguala con una constate T, la cual es un número que no cambia la dirección pero puede modificar su módulo o el sentido.

[pic 15]

= T[pic 16]

Se realiza el respectivo despeje de las incógnitas. X y Y.

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

2.2.3 Ecuación General

Para determinar la ecuación general de la recta, partiremos desde la ecuación definida por un punto y un vector normal. Sabiendo que la relación entre los puntos y el vector normal los define como ortogonales, es decir, forman un ángulo de 90° entre sí, entonces se cumple  su relación de   (n es el vector normal y v es el vector o recta).[pic 21][pic 20]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

- A esto se lo conoce como ecuación definida por un punto y un  vector normal.

Desde esta ecuación se puede determinar la ecuación general, aplicamos la propiedad distributiva.

[pic 26]

Agrupamos términos con mayor valides, es decir, las que acompañar a las variables X y Y.

[pic 27]

A el valor resultante de   le asignamos un valor total para acortar la ecuación, “C”.  [pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

Ecuación general

2.3 Lugar geométrico
La disposición del número considerable de propósitos del plano que cumple ciertas condiciones dadas, y solo esos enfoques, se conoce como el lugar de esas condiciones.

 Algunas manchas geométricas son:

LA MEDIATRIZ de una porción es el lugar de los focos equidistantes de sus cierres.

[pic 31]

Mediatriz del segmento AB
d (P, A) = d (P, B)

El BISECTRIZ de dos líneas es el lugar de los enfoques equidistantes de sus lados.

[pic 32]

Bisectriz del ángulo determinado por las rectas r y s
d (P, r) = d (P, s)

La CIRCUNFERENCIA del foco C y del barrido r es el lugar de los focos cuya separación al medio es r.

[pic 33]

Circunferencia (centro C y radio r)
d (P, C) = r

La curva a la que se refiere una condición dada (aludida a un marco facilitador) es el lugar de todos los enfoques en el plano cuyos organismos cumplen la condición. Es decir, al suplantar las direcciones del punto en la condición, la correspondencia se cumple en él. Hablaremos en su mayor parte sobre el estado de una curva alusiva a lo mencionado anteriormente. De igual manera, de vez en cuando utilizaremos las palabras curva o gráfica como una palabra equivalente de locus.

2.4 Circunferencia

2.4.1 Definición

La circunferencia es aquella curva que se obtiene cuando el plano interceptor es paralelo al planoα.

[pic 34]

Otra denominación de la circunferencia es el conjunto de puntos en el plano cartesiano que están ubicados a una longitud r, de un punto fijo O. La distancia r es llamada radio, mientras que el punto fijo O es el centro de la circunferencia.

Definición: {P(x, y) ∈R2/d(O, P)=r}

[pic 35]

Cónica Degenerada

Este tipo de circunferencia corresponde a un punto, que se obtiene cuando el plano interceptor es paralelo al plano α y pasa por el vértice V del cono.

[pic 36]

Circunferencia como lugar geométrico

Es el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran equidistantes a un punto denominado  centro de la circunferencia.

[pic 37]

 Ecuación de la circunferencia

2.4.2 Forma Canónica:

Debemos considerar que la circunferencia se encuentra centrada en O (h, k) y de radio r. La condición para que un punto P(x, y) pertenezca a la misma es:

 D (O, P)=r

Entonces tenemos:

[pic 38]

1. [pic 39]

2.4.3 Ecuación general

Es fácil detallar la ecuación general ya que el centro de la circunferencia corresponde al origen de coordenadas (0,0), entonces su forma general  es:

[pic 40]

Entonces, si desarrollamos la expresión antes analizada (a), obtenemos:

[pic 41]

[pic 42]

De ahí que:

[pic 43]

Donde

[pic 44]

Entonces podemos deducir que para que una ecuación cuadrática represente a la circunferencia, los coeficientes de x2 y y2 deben ser iguales

[pic 45]

Ejercicios

Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que tiene centro el punto (7,5) y de radio 4

[pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 50]

[pic 58]

                [pic 59]

[pic 60]

Determine la ecuación general de la circunferencia centrada en el punto O (7,7) y cuya longitud de radio es 4.

Solución:

P (x, y)

O (7,7)

r=4

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

Determine la ecuación general de la circunferencia que está centrada en el punto O (2,5) y que contiene al punto P (1,4)

Solución:

Para calcular la longitud de radio:

[pic 64]

La ecuación general es:

[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

1. Parábola

2.5.1 Definición:

Se le llama parábola al lugar geométrico del punto equidistante en donde se traza un punto fijo, el cual es conocido como foco y de una recta fija, la cual es conocida como directriz.

Los elementos de la parábola son los siguientes:

1. Directriz. - es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la parábola, esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco
2. Eje Focal. - es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
3. Vértice. - es el punto en el cual la parábola corta el eje focal.
4. Lado Recto. - es un segmento paralelo a la directriz, este pasa por el foco y es perpendicular al eje focal; sus extremos son puntos de la parábola (A,B).
5. Parámetro. – es la distancia entre el vértice y la directriz que es la misma dentro el vértice y el foco de una parábola, el cual recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p).

[pic 68]

• Ecuación de la Parábola[pic 69]

La ecuación de una parábola con eje focal paralelo al eje x, vértice en (h,k) y cuya distancia al foco es p es:

La ecuación por una parábola con eje focal paralelo al eje y, vértice en (h,k) y donde su distancia focal es p es: [pic 70]

• Aplicaciones

Las parábolas son aquellos fenómenos que nos interesa hacer converger o divergir, un haz de luz o un sonido. Como por ejemplo las antenas parabólicas, las lámparas sordas y los faros de los autos. Estos se pueden construir, por la propiedad de las parábolas, hornos solares. Los micrófonos de ambiente en algunos deportes también suelen tener forma parabólica.

...