LA TRIGONOMETRÍA

LA TRIGONOMETRÍA

La palabra Trigonometría procede de las voces griegas tri-gonon-metron, que significa “medida de tres ángulos”. El objetivo prioritario de esta rama de las Matemáticas es el estudio de las medidas de los ángulos y lados de los triángulos. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos y como se propagan las ondas: las ondas que se producen al tirar una piedra en el agua, o al agitar una cuerda cogida por los dos extremos, o las ondas electromagnéticas de la luz, el microondas o los rayos-x, las ondas sonoras, entre otros.

Astronomía

Cálculo del radio de la Tierra, distancia de la Tierra a la Luna, distancia de la Tierra al Sol, predicción de eclipses, confección de calendarios, ...

Artillería

¿A qué distancia se encuentra un blanco al que se desea disparar con una catapulta o con un cañón?

Cartografía

Elaboración del mapa de un lugar del que se conocen algunas distancias y algunos ángulos.

Construcciones

Cómo construir un edificio para que cumpla ciertas exigencias de orientación. En qué dirección se excava un túnel para que salga, al otro lado de la montaña, en el lugar deseado.

Navegación

Construcción de cartas marinas en las que se detalle la ubicación de escollos, arrecifes, ...

Midiendo la altura de un edificio

Para hallar la altura, H, de un edificio se miden la distancia desde el punto de observación a la base del edificio, D, y el ángulo θ (theta) que se muestra en el dibujo. El cociente entre la altura H y la distancia D es igual a la tangente de θ (H/D = tg θ). Para calcular H se multiplica la tangente de θ por la distancia D (H = Dtgθ). El ángulo se puede medir con exactitud utilizando un teodolito (instrumento destinado a ubicar un objeto a cierta distancia mediante la medida de ángulos con respecto al horizonte y con respecto a los puntos cardinales). Pero también se puede hacer uno con un transportador de ángulos, cilindro hueco (podria ser la parte que recubre un lapicero) y una plomada (hecha con algun peso que colgaremos de un hilo). Se sujeta la plomada en el origen del transportador; luego fijamos el cilindro a lo largo de la base del transportador y se apunta con la base de éste hacia el tejado del edificio. El ángulo buscado es 90º menos el formado por el hilo de la plomada.

Construye un teodolito casero como el que se mencionó anteriormente y prueba a medir ángulos de diversos objetos que observes.

Línea de visión

Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado. Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando éste está situado arriba del observador. Cuando el observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión.

Para entrar de lleno en el mundo de la trigonometría es necesario abordar dos temas fundamentales para su completo entendimiento como lo son: LOS ÁNGULOS Y LOS TRIÁNGULOS.

Publicado por Ronald González 3 comentarios:

Etiquetas: Trigonometría

ÁNGULOS

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas, r y s, con un origen común O.

Las semirrectas r y s son los lados de ambos ángulos y O el vértice.

Tracemos una circunferencia con centro en O y radio arbitrario.

Se determinan dos puntos, A y B, sobre r y s, respectivamente.

A partir del punto A se puede llegar al B siguiendo la circunferencia de dos maneras. Fijaremos el siguiente convenio: si el recorrido se hace en forma contraria al seguido por las agujas de un reloj, diremos que el ángulo está orientado positivamente. En caso contrario, diremos que está orientado negativamente.

Existen varias formas de medir ángulos, que dependen del valor que se le asigne a un ángulo completo o giro. Los más comunes son el sistema sexagesimal y el radián o radianes.

Sistema sexagesimal

Un grado sexagesimal es cada una de las 360 partes iguales en las que se divide una circunferencia, mediante sectores circulares iguales. De esta forma, una circunferencia abarca un ángulo de 360º. El ángulo definido por media circunferencia se llama llano, y medirá 180º. La mitad de un llano se llama recto y mide 90º.

Los ángulos menores que un ángulo recto se llaman agudos y los mayores obtusos.

Dos ángulos son complementarios si suman un recto, y suplementarios cuando suman un llano. Por ejemplo, los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo son complementarios.

De igual forma, un grado sexagesimal se divide en 60 partes iguales llamadas minutos (1º = 60’), y cada minuto, a su vez, se divide en otras 60 partes iguales, que se llaman segundos (1’ = 60’’).

Por último, el tamaño de los ángulos no depende de la longitud de sus lados, sino de su mayor o menor abertura.

Radianes

Un radián equivale al ángulo definido por el arco de una circunferencia, siendo la longitud de ese arco igual al radio.

El número π se define como la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia, por lo tanto el perímetro dividido por π es igual al diámetro (es decir a dos veces el radio). El ángulo de una circunferencia completa tiene sobre su perímetro 2π arcos de esas características (de longitud igual al radio). Entonces, el ángulo de una circunferencia completa equivale a 2π radianes.

Transformaciones entre grados y radianes y viceversa

Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180o equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.

Ejemplo A: Convertir 38o a radianes.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes.

Despejamos x y simplificamos.

Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora.

...