La Suma Y La Resta De La Derivada

Capítulo I

Área de Matemática

1. La Suma y la Resta de la Derivada

1.4. Marco Teórico

1.4.1. La derivada

La derivada es la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x.

También la pendiente de esas rectas parece cada vez más a la pendiente de la recta tangente; Al límite de esas pendientes es a lo que llamaron Derivada.

P

Esta figura ¿será una recta secante o tangente en un punto P?

Recta Tangente en P de una circunferencia.

Para comprender mejor el tema definido anteriormente es necesario entender la ecuación de una recta. Si sabemos que una recta se obtiene determinando el cambio que sufre el eje Y y dividiendo ese cambio por el cambio en el eje x. Como se presentara a continuación:

m = pendiente de la recta.

m =

Sabemos también que según Euclides, es necesario obtener dos puntos para construir la ecuación de una recta, ahora nos pasamos a generalizar este concepto pero es necesario que una curva como la antes expuesta. Como mencionamos anteriormente necesitamos dos puntos, ahora basta con introducir un punto Q en la misma curva como anteriormente se tenía el punto P y trazamos una recta que pase por esos dos puntos. Como nos podemos dar cuenta que lo que se obtiene es una recta secante porque corta dos puntos de esta curva. Así:

Q

P

Ahora procuraremos determinar la pendiente de esta recta secante. Como podemos observar el punto P será nuestro punto fijo por lo que procederemos a definir las coordenadas de estos puntos como (c, f(c)) recordemos que la coordenada Y no es más ue la imagen de la coordenada X valuada en la función dada. Ahora al definir las coordenadas del punto Q es donde está la genialidad de este método, las coordenadas de este punto son (c+h, f(c+h)) introducimos la variable h, que no es más que la distancia que se tiene de la Coordenada en X del punto P y las coordenadas X del punto Q y por lo tanto su imagen se obtiene valuando el punto c+h en la función. Definidos ya las coordenadas ahora trataremos de acercar lo más que se pueda del punto Q al punto P de manera que podamos decir que ambos puntos estén lo suficientemente cerca para decir que son el mismo punto, por lo tanto no es una recta secante la que se obtiene sino que una recta tangente.

La recta secante se obtiene aplicando la definición de pendiente de una recta pero sustituyendo los valores de X y de Y como se muestra en la siguiente figura:

eje y

Q

f(c+h)

f (c) P

eje X

c c+h

Tendremos la siguiente ecuación

m =

m =

Vemos que el valor de la c fue eliminado y ahora tenemos la pendiente la recta secante en términos de h, que es la distancia en el eje x entre ambos puntos y como definimos anteriormente ahora tenemos que acercar estos puntos lo suficiente para decir que son el mismo punto, esto se hace haciendo que h tienda a cero, en otras palabras que la variable h sea tan pequeña para suponer que es 0 el valor de esta. Para lograr esto tenemos que utilizar el límite de esta función cuando h 0 aquí logramos tener la pendiente de una recta tangente y no la pendiente de una recta secante. Entonces tenemos que:

mt =

Ahora tenemos que mt que es la pendiente de la recta tangente a una curva. Con esta definición se puede obtener la pendiente de una recta que pasa por una curva cualquiera en un punto dado. Lo anteriormente descrito es la definición de la derivada de una función, en otras palabras la derivada de una función es otra función que permite determinar la pendiente de la recta tangente en un punto dado.

Una función y = f(x) se dice que es derivable en un punto c del dominio cuando existe el límite del cociente incremental siguiente:

Cada uno de los límites laterales de la expresión anterior se llama derivada lateral de f en el punto x = c. Cuando las dos derivadas laterales existen (son finitas) y son iguales, la función es derivable en x = c y el resultado se llama derivada de la función en x = c. Otra forma de expresar la derivada de una función f en el punto c es:

La fórmula la aplicaremos para calcular derivadas de funciones en puntos particulares. Sin embargo es más conveniente utilizar para calcular derivadas de funciones en puntos genéricos.

De la definición se deduce que toda función derivable en un punto es necesariamente continua en dicho punto.

La notación que utilizaremos para expresar la derivada de una función es alguna de las siguientes:

f'(x) = df (x) = o bien y’ = dy =

Para las derivadas laterales se usará la notación análoga f’(x+) o bien f’(x-), seg´un sea el caso.

1.4.2. Derivada de la Función Constante

Reglas de la Constante

La función constante f(x) = c, es una función cuya gráfica es la recta horizontal y = c. La pendiente la recta que representa la función constante es cero.

y

...