MATEMATICA 3

INTEGRALES DOBLES

- DEFINICIÓN

La integral definida para funciones de una variable se la definió de la siguiente manera:

La cual se llama Integral (Suma) de Riemann, que significa el área bajo la curva y= f(x) en un intervalo [a,b].

Si quisiéramos obtener una Integral definida para una función de dos variables; primero deberíamos suponer que ahora la región de integración sería de la forma [a,b]×[c,d], es decir un rectángulo de R2 , la cual la denotamos como R.

Haciendo particiones de la región R, de dimensiones no necesariamente iguales:

La ij ésim− a partición tendrá forma rectangular. Ahora cabe referirse al área de esta partición, que estaría dada por:

ij i j ΔA = ΔxΔy

Podemos definir una función de dos variables z= f(x,y) en la región R, que para la ij − ésima partición sería:

( i , j ) i j f x y ΔxΔ y Bien, veamos ahora su significado geométrico. Observe la gráfica siguiente:

El punto ( i , j ) x y , representa cualquier punto del ij − ésimo rectángulo.

El volumen del ij − ésimo paralelepípedo, denotémoslo como ij ΔV , estaría dado por:

Por tanto, si deseamos el volumen bajo la superficie, tendríamos que hacer una suma de volúmenes de una cantidad infinita de paralelepípedos, es decir:

- Integral doble en coordenadas polares

En ocasiones las integrales son más fáciles de evaluar si se cambia a coordenadas polares. En esta sección se muestra como hacer el cambio y como evaluar las integrales sobre regiones con fronteras dadas por ecuaciones polares.

En la definición de la integral doble de una función sobre una región R en el plano xy utilizamos rectángulos con lados paralelos para dividir la región. En coordenadas polares la forma natural es un sector polar cuyos lados tienen valores de r y _ constantes.

Para definir la integral doble de una función continúa z= en coordenadas polares, la región R esta acotada por las curvas r = y r = y las rectas θ = α y θ= β

La región R se divide en múltiples sectores polares (en lugar de rectángulos). El área de un sector específico i es.

La suma de Riemann (convirtiendo a polares x y y) es

El límite de la sumatoria cuando n ! 1 es la integral doble

En forma analogía a las regiones en coordenadas rectangulares, se pueden definir regiones r-simples en las cuales la región está limitada por ángulos fijos= y por r constante o función de y se especifican como

En las regiones θ -simples, la región esta acotada por valores constantes de r (r1 y r2) y por ángulos funciones de r y se especifican de la siguiente forma

Para de_nir los limites de regiones polares, se utiliza un rayo desde el origen (en lugar de una recta), si el rayo entra y sale por las mismas curvas en toda la region R, entonces es una regi_on r-simple. Si los limites en r son constantes y los angulos minimo y maximo de la region son funciones de r, entonces es una region θ simple.

Ejemplo 1 Determine los limites en forma polar de la region acotada por el circulo x2 + y2 = 4 y la recta y = p2.

Solucion:

Se procede de la misma manera que para identificar las regiones en coordenadas rectangulares, esto es, se hace un dibujo de la region y se traza el rayo de prueba.

El rayo L siempre entra en la región por la recta y = p2 y sale por la curva x2 + y2 = 4. Estas ecuaciones en coordenadas polares son, para la curva

y para la recta

El Angulo mínimo es la intersección de la recta con la curva

y el Angulo máximo es π/2 la región se especifica como

y la integral doble

Área en coordenadas polares:

Al igual que en coordenadas rectangulares, si f(x; y) = 1, el resultado de la integral doble es el área de la región plana, esto es

Donde d A = Y para los sólidos sobre la región plana en el plano xy y limitados por la superficie f(x; y), la integral doble que da el volumen se transforma en

Donde la ecuación de la super_cie se convierte a coordenadas polares al sustituir x =

- Ejemplo 2 Calcular el área entre los círculos de radio 1 y radio 2 con el mismo centro.

Solución.

Por facilidad, se considera que el centro de ellos es el origen (0,0), por lo que las ecuaciones de ellos son

x2 + y2 = 1; y en coordenadas polares r = 1

x2 + y2 = 4; y en coordenadas polares

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