Matematicas 3

Arco parabólico.

De las diversas formas de arcos usadas en construcción, una tiene la forma de un arco parabolico. Tal forma, llamada arco parabolico La longitud AC en la base se llama claro o luz; la altura máxima OB sobre la base se llama altura del arco. Si el arco parabolico se coloca de tal manera que su vértice este en el origen y su eje coincida con el eje Y, y si la longitud del claro es 2s y la altura es h, entonces podemos demostrar fácilmente que la ecuación de la parábola toma la forma

En un puente colgante, cada cable cuelga de sus soportes A y C en la forma del arco de una curva.

La distancia AC comprendida entre los soportes del cable es la luz; la distancia BO, altura vertical, se llama depresión del cable. Si los pesos de los cables son pequeños comparados con el de la carga, y si la distribución del peso de la carga es uniforme en la dirección horizontal, se desmuestra en mecánica que cada cable toma muy aproximadamente la forma de un arco parabolico.

Propiedad focal de la parábola. La parábola tiene una importante propiedad focal basada en el siguiente teorema.

Teorema. La normal a la parábola en un punto cualquiera de la parábola forma angulos iguales con el radio vector de y la recta que pasa por y es paralela al eje de la parábola.

Demostración. El teorema no se particulariza si tomamos como ecuación de la parábola la forma canonica.

.......*

Designemos por n la normal a la parábola en , por l la recta que pasa por paralela al eje, y por r el radio vector . Sea el angulo formado por n y r, y el formado por n y l. vamos a demostrar que .

La pendiente de la parábola en es es

Por tanto , la pendiente de n es también la pendiente de r es, también la pendiente de r es por tanto tenemos que.

Como esta sobre la parábola, sus coordenadas satisfacen la ecuación *, y sustituyendo este valor de en la ultima igualdad, tenemos:....(2)

Y como la pendiente de l es 0, resulta: ....(3)

Por tanto de (2) y (3) y el teorema queda demostrado = .

Ejemplo: Si un rayo de luz toca a una superficie pulida m en el punto P, es reflejado a lo largo de otra recta, digamos .

Sea n la normal a m en P. el angulo formado por el rayo incidente reflejado y n se llama angulos de incidencia; el

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