MODELAMIENTO MATEMÁTICO

PEP1 // PROGRAMACIÓN LINEAL

Carlos Cancino T.

EJERCICIO 1.1 // MODELAMIENTO MATEMÁTICO

1.

Definiendo las variables;

Xij = Ton/día de los elementos de entrada (i) para la colada de lingotes (j), i=1,2,3,4,5; j=1,2.

Dónde;

i=1; chatarra de acero

i=2; chatarra de aluminio

i=3; chatarra de hierro fundido

i=4; briqueta de aluminio

i=5; briqueta de silicio

j=1; lingotes I

j=2; lingotes II

Luego, el objetivo del modelo es minimizar el costo de fabricación de lingotes, según:

Mín Z = 100*(X11 + X12) + 150*(X21 + X22) + 75*(X31 + X32) + 900*(X41 + X42) + 380*(X51 + X52).

Sujeto a;

X11 + X12 <= 1000; ton/día disponibles de chatarra de acero

X21 + X22 <= 500; ton/día disponibles de chatarra de aluminio

X31 + X32 <= 2500; ton/día disponibles de chatarra de hierro fundido

0.1*X11 + 0.95*X21 + 1*X41 >= 0.081*130; %mín de aluminio en ling I

0.1*X11 + 0.95*X21 + 1*X41 <= 0.108*130; %máx de aluminio en ling I

0.05*X11 + 0.01*X21 + 0.15*X31 >= 0.015*130; %mín de grafito en ling I

0.05*X11 + 0.01*X21 + 0.15*X31 <= 0.03*130; %máx de grafito en ling I

0.04*X11 + 0.02*X21 + 0.08*X31 + 1*X51 >= 0.025*130; %mín de silicio en ling I

0.1*X12 + 0.95*X22 + 1*X42 >= 0.062*250; %mín de aluminio en ling II

0.1*X12 + 0.95*X22 + 1*X42 <= 0.089*250; %máx de aluminio en ling II

0.05*X12 + 0.01*X22 + 0.15*X32 >= 0.041*250; %mín de grafito en ling II

0.04*X12 + 0.02*X22 + 0.08*X32 + 1*X52 >= 0.028*250; %mín de silicio en ling II

0.04*X12 + 0.02*X22 + 0.08*X32 + 1*X52 <= 0.041*250; %mín de silicio en ling II

X11, X21, X31, X41, X51, X12, X22, X32, X42, X52 >= 0; restricción de no negatividad

(b) Primero, el modelo será factible en la medida que satisfaga todas las restricciones definidas. Luego, será óptima en la medida que el modelo genere el mejor valor de minimización (o maximización) de la función objetivo. De todas maneras, la calidad del resultado de la optimización que entregue el modelo depende de la exactitud con la que se representa la situación real. A partir de lo anterior, un modelo es factible y entregará un resultado óptimo para ese modelo en función del modelo generado, si éste se desvía del problema real, el modelo seguirá siendo factible y óptimo, pero su resultado no servirá para la aplicación a la situación investigada real.

(c) Primero, la variable de entrada del problema de minimización es la variable con el coeficiente más positivo (condición de optimalidad). El óptimo se alcanzará en la iteración en que los coeficientes de la fila z sean no positivos. En cuanto a la factibilidad en el problema de minimización la variable de salida será la variable con la restricción de no negatividad.

(d) Una restricción es activa cuando forma parte del conjunto factible y del vértice óptimo de un análisis gráfico del problema a optimizar. Una restricción activa nos permite entender el rango de validez que tiene nuestros resultado óptimo manteniendo nuestra base óptima. Es decir, podemos evaluar, según sea el caso de mín o máx, cuanto puede aumentar o disminuir nuestra restricción activa y su impacto en nuestra resultado óptimo. Esta información permite evaluar la variación de restricción en condiciones reales por ejemplo, variando la cantidad de stock de una materia prima, capacidades de máquinas, línea de producción, cantidad de demanda, etc.

...