Mapaeo Conforme

1. Mapeo Conforme

Método estándar para resolver problemas con valor en la frontera, aplicado en teoría de potencial en dos dimensiones al transformar una región complicada dada en otra más sencilla, así mismo, es útil en el campo de la electrostática, flujo de calor y de fluidos.

Los mapeos conformes son aquellos mapeos que conservan los ángulos, excepto en puntos críticos, y están definidos por funciones analíticas. Un punto crítico ocurre donde la derivada de tal función es cero. Para esto, las transformaciones fraccionarias lineales desempeñan un rol fundamental, y además, en ocasiones es posible usar otras funciones especiales.

Una función compleja

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De una variable compleja  genera un mapeo de su dominio  en el plano complejo  sobre su rango de valores en el plano complejo . Para cualquier punto  en , el punto  es llamado la imagen de  con respecto a . Más generalmente, para los puntos en la curva  en  los puntos imagen, forman la imagen de Esto se denomina mapeo:[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

.[pic 15]

Si f(z) es analítica, entonces su propiedad más importante de mapeo es su conformidad, que se define como sigue.

Mapeo conforme: Un mapeo  es llamado conforme si conserva los ángulos entre las curvas orientadas tanto en magnitud como en sentido.[pic 16]

C: z(t) = x(t) + iy(t)                (1)

Mapeo conforme mediante funciones analíticas: El mapeo  dado por una función analítica  es conforme, excepto en sus puntos críticos, es decir, en puntos donde su derivada  es cero.[pic 17][pic 18][pic 19]

En la figura 1 se muestra gráficamente la referencia a mapeo conforme:

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Figura 1. Las curvas C1 y C2 y sus imágenes respectivas C1* y C2* bajo mapeo conforme.

Las imágenes C1* y C2* de dos curvas orientadas forman el mismo ángulo α  (0 ≤ α ≤ π) entre las tangentes orientadas en el punto de intersección, que el formado por las curvas C1 y C2, en magnitud y dirección.

Teorema 1 (Mapeo Conforme)

     El mapeo definido por una función analítica f(z) es conforme excepto en puntos críticos, es decir, en puntos donde la derivada de f’(z) es cero.

Demostración. La idea es considerar una curva:

C: z(t) = x(t) + iy(t)

En el dominio de f(z) y demostrar que el mapeo w = f(z) rota la tangente de C en cualquier punto z0 de C (con f’(z) ≠ 0) un ángulo que es independiente de C, de modo que las tangentes de dos curvas C1 y C2 que pasan por z0 (figura 1) son rotadas el mismo ángulo, de manera que las imágenes de estas curvas forman el mismo ángulo en tamaño y dirección que las curvas mismas, lo que, por definición, significa conformidad.

     Se supone que C es una curva suave; es decir, que z(t) en (1) es diferenciable y que la derivada z’(t) = dz/dt es continua y diferente de cero en todas partes. Entonces, se afirma que C tiene una tangente única que rota de manera continua. De hecho, por definición.  

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Figura 2. Formula (2).

     Así, el numerador z1 - z0 representa una cuerda de C, y (z1 - z0) /Δt con Δt positivo tiene la misma dirección. Cuando Δt 🡪 0, el punto z1 tiende a z0 a lo largo de la curva, y

(z1 - z0) /Δt         🡪         z’(t0)

     Por tanto, z’(t0) es tangente a C en z0, y de manera breve se denomina vector tangente de C en z0, y la afirmación está demostrada. A continuación, se analizará la imagen de C* de C bajo w = f(z) (no constante). C* es una curva representada por  

w = f [z(t)]

debido a que z(t) proporciona C y f lo transforma. A z0 = z(t0) en C corresponde el punto w0 = w(t0) en C* y un vector tangente a C* en este punto es w(t0). Así, por la regla de la cadena, se tiene que

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