Operaciones con funciones

Función Compuesta

OPERACIONES CON FUNCIONES

Función Compuesta

Siempre que se tienen dos funciones g y f se puede definir una nueva función de manera que la variable dependiente de g sea a su vez la variable independiente de f. Observa la siguiente ilustración entre los conjuntos.

Ejemplo 1

Si f(x) = 2x2+1 y g(x) = x -1 entonces

( f o g )(1) = f ( g (1) )

f ( g ( 1 ) ) = f ( 0 )

f ( 0 ) = 2 ( 0 )2 + 1 = 1

Finalmente ( f o g )(1) = 1.

Ejemplo 2

Si f(x) = 2x2+1 y g(x) = x -1 entonces

( f o g )(x) = f ( g (x) )

f ( g ( x ) ) = f ( x-1 )

f ( x-1 ) = 2 ( x-1 )2 + 1

= 2 ( x2 – 2x + 1) +1

= 2x2 – 4x + 2 + 1

= 2x2 – 4x + 2

Finalmente (f o g)(x) = 2x2 – 4x + 2.

Trabaja problema seleccionado 3 de la página 169.

PRACTICA

Usa las funciones f y g del ejemplo anterior y halla:

( f o g )(-1)

( f o g )(2)

( g o f )(-2)

( g o f )(a)

RESPUESTAS

Un ejercicio interesante es cuando conoces la regla definida en la composición y deseas saber cuáles funciones la producen, esto se llama descomposición.

Ejemplo:

Halla f y g si (f o g)(x) = ( 2x+3 )2

Observa que la regla definida es multiplicar por 2, sumar 3 y cuadrar

En la composición ( f o g )(x), la primera función que actúa es g

En la regla ( 2x+3 )2, la primera operación que se realiza al seguir el orden de las operaciones, es aquella del paréntesis, ( 2x + 3 )

asigna esa regla a la función g, esto es, define g (x) = 2x + 3

la otra regla, cuadrar, se la asignas a la función f, esto es, f (x) = x2

Verifica, si f (x) = x2 y g (x) = 2x + 3 , entonces:

( f o g ) (x) = f ( g (x) ) = f ( 2x + 3 ) = ( 2x+3 )2; lo que se quería.

Función compuesta

Dadas dos funciones f(x) y g(x), se llama función compuesta de f con g, y escribimos g o f, a aquella función en la que la imagen de un número real x es el resultado de actuar sucesivamente sobre x primero f y después g.

Para hallar la expresión analítica de la función compuesta de dos funciones se aplica el resultado anterior:

(gof) (x) = f[g(x)].

Ejemplo: Sean las funciones f(x) = 3x - 2 y g(x) = 2x + 5; entonces la función compuesta de f con g es (gof)(x) = g[f(x)] = g(3x - 2) = 2(3x - 2) + 5 = 6x - 4 + 5 = 6x + 1.

En el razonamiento anterior se ha tenido en cuenta que si g(x) = 2x + 5, y por lo tanto,

g(3x - 2) = 2(3x - 2) + 5.

Propiedades de la composición

ASOCIATIVA: Dadas tres funciones cualesquiera f(x), g(x) y h(x) se cumple que ho(gof) = (hog)of.

CONMUTATIVA: La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir, gof y fog son en general dos funciones distintas.

En el ejemplo anterior (gof)(x) =6x + 1, sin embargo, (fog)(x) = f[g(x)] = f(2x + 5) = 3(2x + 5) - 2 = 6x + 15 - 2 = 6x + 13, luego las funciones gof y fog son distintas.

FUNCIÓN IDENTIDAD: La función i(x) = a que hace corresponder a cada número real con él mismo, al componerla con cualquier función f(x) da de resultado f(x). Además i(x) conmuta con todas

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