PROBABILIDAD

INTRODUCCION

Dentro de la siguiente presentación, conoceremos algunos temas que se abarcan dentro de la probabilidad y estadística. Como los tipos de probabilidades, la probabilidad condicional, que se refiere al simple cálculo de la probabilidad de un evento, cuando se sabe que tal ocurrió otro con el cual está relacionado. La probabilidad simple y la probabilidad compuesta o conjunta. Todas estas con el fin de analizar la probabilidad de que ocurra un evento o hecho en base a alguno que haya sucedido. Por ejemplo: la probabilidad de que un día cualquiera llueva. (Probabilidad simple)

Algunos diagramas como el de Venn que fue desarrollada por el matemático ruso

Georg Cantor y ampliada por, entre otros John Venn, de ahí su nombre.

Veremos la fórmula de Bayes, que en términos simples simplifica el cálculo de las probabilidades condicionales, esto quiere decir que permite calcular que ocurra el evento B si se sabe que ya ocurrió el evento A.

Y por último veremos los distintos tipos de distribuciones de probabilidad para variables continuas (uniforme, simétrica, binominal, hipergeometrica, etc.) así como sus aplicaciones en la vida cotidiana.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

La probabilidad condicional se refiere al cálculo de la probabilidad de un evento, cuando se sabe que ya ocurrió otro con el cual esta relacionad; por ejemplo, ¿Cuál será la probabilidad de que llueva si el día está nublado? Esta y otras preguntas similares se analizan en este capítulo.

DIAGRAM AS D E VEN N

La teoría de conjuntos desarrollada por el matemático ruso Georg Cantor (1845-

1918), ha sido ampliada entre otros. Por John Venn, filósofo inglés (1834-1923), quien organizo los conjuntos en diagramas, facilitando con ello el entendimiento de los problemas de este tipo.

John Venn nació el 4 de agosto de 1833 en Hull (Inglaterra) y murió el 4 de abril de 1923 en Cambridge (Inglaterra). Este científico nace en una familia acomodada y evangélica y cristiana. Fue profesor en la Universidad de Cambridge, impartía clases de lógica y probabilidad, estaba interesado en las teorías de De Morgan y Boole. Con relación a este último se encargó de ampliar su teoría acerca de la lógica matemática con lo que elabora los diagramas que hemos visto antes. Entre sus libros cabe destacar Symbolic Logic (Lógica Simbólica) en 1881 y The Principles of Empirical Logic (Los Principios de la Lógica Empírica) en 1889.

Una de las principales teorías dentro de la matemática actual es la Teoría de los Conjuntos. Podríamos decir que es una teoría que nos explica el funcionamiento de una colección de elementos cuando realizamos alguna operación con ellos.

De la definición anterior observamos la primera dificultad que se encuentra un estudiante al estudiar esta teoría, pues se empieza sin ninguna definición válida. El concepto de conjunto se acepta sin definición.

La segunda dificultad a la que una persona se enfrenta cuando estudia la Teoría de Conjuntos es la de las operaciones con conjuntos. Una parte que sin lugar a dudas es muy importante ya que influirá en otras teorías matemáticas. Pues bien, los Diagramas de Venn intentan corregir, de alguna manera, dicha dificultad.

son una herramienta metodológica que tiene el profesor para explicar la Teoría de

Conjuntos.

Pues bien vamos a citar a continuación los ejemplos más importantes de los

Diagramas de Venn.

DIAGRAMA DE LA INTERSECCIÓN DE DOS CONJUNTOS.

En teoría la intersección de dos conjuntos podemos definirla como la parte común que tienen dos conjuntos, si es que existe (Ejemplo de inexistencia: la intersección de los números pares con los impares). Pues el diagrama que viene a continuación representa dicha situación.

La intersección de los conjuntos A y B es la parte azulada, en efecto vemos que la parte común que comparte el conjunto A con el B es la parte azul.

En matemáticas la intersección se representa A∩B

Diagrama de la intercesión vacía (no hay ningún elemento común)

En efecto, se observa que ambos conjuntos no tienen ninguna parte común. Esto se le llama en Matemáticas conjunto vacío y se representa: Ø.

DIAGRAMA DE LA UNIÓN DE DOS CONJUNTOS.

En teoría la unión de dos conjuntos podemos definirla como una “suma” de un conjunto con otro. Pues el diagrama que se muestra a continuación representa la situación descrita anteriormente.

DIAGRAMA DEL COMPLEMENTARIO DE UN CONJUNTO.

En teoría el complementario de un conjunto se hace en referencia a un conjunto universal y se define como los elementos que no pertenecen al conjunto. Tan raro se entiende mejor con el siguiente diagrama.

El conjunto U es el universal (parte amarilla y blanca) y el complementario de A es solo la parte amarilla del dibujo. El complementario de un conjunto se representa Ac.

DIAGRAMA DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS.

La diferencia B - A es la parte de B que no está en A.

La diferencia de conjuntos en matemáticas se expresa B\A, para este caso.

DIAGRAMA DE LA INCLUSIÓN DE CONJUNTOS.

En el diagrama se puede observar como el conjunto B esta contenido (o incluido)

en el conjunto A. Esto matemáticamente se expresa BÌA.

EJERCICIO

En un grupo de 55 personas ,25 hablan inglés, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas, ¿Cuántas personas del grupo hablan dos de estos idiomas?

A) 40

B) 22

C) 37

D) 38

E) 25

Resolución

Ingles 25

x

a y

Francés 32

5

c b

Alemán 33

z

 Se pide : a+b+c

 Luego de la figura, se deduce que:

X+a+c=20

Y+a+b=27

Z+b+c=28

X+y+z+2ª+2b+2c=75…….. (I) Pero el total se obtendrá: (II)

X+y+x+a+b+c+5=55

X+y+z=50-a-b-c

Reemplazando (II) en (I)

50-a-b-c+2ª+2b+2c=75

A+b+c=25

TI POS D E PROBABILID ADE S

 PROBABILIDAD SUBJETIVA

Un punto de vista alternativo que actualmente ha tenido popularidad es interpretar las probabilidades como evaluaciones personales o subjetivas. Tales probabilidades expresan una creencia sobre las incertidumbres involucradas, y se aplican especialmente cuando poca o ninguna evidencia; así que no hay otra opción que considerar evidencias paralelas (indirectas), conjeturas fundamentadas y quizás intuición u otros factores subjetivos.

Entonces

Probabilidad = O!! El evento no ocurrirá

Probabilidad = 1!! Seguro el evento ocurre

 PROBABILIDAD OBJETIVA

Se subdivide en Probabilidad teórica y empírica:

Probabilidad Teórica:

Esta probabilidad se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles.

La probabilidad de que suceda un evento se calcula dividendo el número de resultados favorables entre el número total de resultados posibles.

Si solo de uno de varios eventos puede ocurrir cada vez, se dice que los eventos son mutuamente excluyentes.

Mutuamente excluyente: La ocurrencia de un evento implica que ninguno de los otros eventos puede ocurrir al mismo tiempo.

En el experimento de tirar un dado, los eventos “un número par” y “un número

impar” son mutuamente excluyentes.

Colectivamente exhaustivos: Por lo menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se realiza un experimento. En el experimento de tirar un dado, contemplar los eventos “un número par” y “un número impar” es un conjunto colectivamente exhaustivo.

Probabilidad objetiva: Empírica

La probabilidad de que un evento ocurra se determina observando en que fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado. Probabilidad de que un evento suceda = # de veces que ocurrió el evento # de resultados total.

 PROBABILIDAD SIMPLE

Cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder Probabilidad = Cantidad total de posibles resultados.

Ejemplo: Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?

Solución:

* Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)

* 68 ÷ 87 = 0.781609

* Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)

 PROBABILIDAD CONJUNTA O COMPUESTA

Probabilidad conjunta es una probabilidad que

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