Probabilidad
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2 Segunda
Unidad Didáctica
"EXPERIMENTOS ALEATORIOS"
"CALCULO DE PROBABILIDADES"
2.1 Parte básica
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2.1.1 Experimentos aleatorios
Si buscamos en el diccionario la palabra "experimentar", significa percatarse de
algo por propia experiencia y llamamos "experimento" al efecto de experimentar. Los
experimentos pueden ser aleatorios o deterministas.
Aleatorio significa relativo a todo acontecimiento incierto, por
depender de la suerte o del azar, mientras que los deterministas son
aquellos que se caracterizan por el hecho de que las mismas causas
producen los mismos efectos.
A nosotros nos interesan los experimentos aleatorios y dejamos los experimentos
deterministas para que los estudiéis en Física.
Cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio se
llama "suceso elemental" y al conjunto de todos los sucesos
elementales se le llama "espacio muestral" y suele representarse por
E.
EJEMPLO 2.1:
Sea el experimento "lanzar un dado y observar la puntuación de su cara
superior", Obtener el espacio muestral:
Solución:
E={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Cualquier parte del espacio muestral se denomina suceso, por ejemplo:
"salir número par" = {12, 4, 6}
"salir número impar" = {1, 3, 5}
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Hay algunos sucesos especialmente importantes que pasamos a enumerar:
-"Suceso imposible": es el que no se verifica nunca y lo representamos por Ø.
- "Suceso seguro": es el que ocurre siempre, es decir, el espacio muestral.
- "Suceso contrario": el suceso contrario de A se verifica siempre que no se
de A y suele indicarse como AC.
- "Sucesos incompatibles": son dos sucesos que no pueden verificarse al
mismo tiempo.
- "Sucesos compatibles": son dos sucesos que pueden verificarse al mismo
tiempo.
2.1.2 Operaciones con sucesos
Unión de sucesos: si tenemos dos sucesos A y B de un mismo experimento
aleatorio, definimos A ! B como el suceso que se verifica siempre que se verifica A ó
siempre que se verifica B. (Ver figura 2.1).
A B
A B
!
Figura 2.1: Representación gráfica de la UNIÓN
Intersección de sucesos: dados dos sucesos A y B de un mismo experimento
aleatorio, definimos A ! B como el suceso que se verifica siempre que se verifican A
y B al mismo tiempo. (Ver figura 2.2)
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A ! B
A B
Figura 2.2: Representación gráfica de la INTERSECCIÓN
EJEMPLO 2.2:
Un aficionado a los casinos tiene tiempo para jugar a la ruleta cinco veces a lo
sumo.
Cada apuesta es de 1000 pts. Empieza con 1000 pts. y deja de jugar cuando
pierda las 1000 pts. o cuando gane 3000 pts. Obtener el espacio muestral.
Solución:
El espacio muestral sería:
E = {P, GG, GPP, GPGG, GPGPG, GPGPP}
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EJEMPLO 2.3:
Se ha observado la distribución del sexo de los hijos en familias de tres hijos.
Sean los sucesos:
A: "el hijo mayor es varón"
B: "los dos hijos pequeños son varones"
¿Cuáles son los elementos de A y de B?
Solución
A = {VVV, VVH, VHV, VHH} B = {HVV, VVV}
EJEMPLO 2.4:
En una encuesta, los resultados del interrogatorio de cada persona se reflejan en
una tarjeta. En las tarjetas se consideran el sexo, la edad (mayor o menor de 30 años),
y la respuesta a la pregunta (Sí, No). Se pide:
a) El espacio muestral.
b) Formar los siguientes sucesos:
A: "Hombre menor de 30 años"
B: "Mujer"
C: "Persona mayor de 30 años que ha respondido sí"
Solución:
Para responder a todas las cuestiones, basta tener en cuenta el árbol anterior.
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2.1.3 Frecuencia y probabilidad
Vamos a tratar de establecer la idea de probabilidad como, límite de las
frecuencias. Lanzamos un dado perfectamente construido y suponemos que obtenemos
la siguiente distribución de frecuencias:
...