Probabilidad

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2 Segunda

Unidad Didáctica

"EXPERIMENTOS ALEATORIOS"

"CALCULO DE PROBABILIDADES"

2.1 Parte básica

110

2.1.1 Experimentos aleatorios

Si buscamos en el diccionario la palabra "experimentar", significa percatarse de

algo por propia experiencia y llamamos "experimento" al efecto de experimentar. Los

experimentos pueden ser aleatorios o deterministas.

Aleatorio significa relativo a todo acontecimiento incierto, por

depender de la suerte o del azar, mientras que los deterministas son

aquellos que se caracterizan por el hecho de que las mismas causas

producen los mismos efectos.

A nosotros nos interesan los experimentos aleatorios y dejamos los experimentos

deterministas para que los estudiéis en Física.

Cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio se

llama "suceso elemental" y al conjunto de todos los sucesos

elementales se le llama "espacio muestral" y suele representarse por

E.

EJEMPLO 2.1:

Sea el experimento "lanzar un dado y observar la puntuación de su cara

superior", Obtener el espacio muestral:

Solución:

E={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Cualquier parte del espacio muestral se denomina suceso, por ejemplo:

"salir número par" = {12, 4, 6}

"salir número impar" = {1, 3, 5}

111

Hay algunos sucesos especialmente importantes que pasamos a enumerar:

-"Suceso imposible": es el que no se verifica nunca y lo representamos por Ø.

- "Suceso seguro": es el que ocurre siempre, es decir, el espacio muestral.

- "Suceso contrario": el suceso contrario de A se verifica siempre que no se

de A y suele indicarse como AC.

- "Sucesos incompatibles": son dos sucesos que no pueden verificarse al

mismo tiempo.

- "Sucesos compatibles": son dos sucesos que pueden verificarse al mismo

tiempo.

2.1.2 Operaciones con sucesos

Unión de sucesos: si tenemos dos sucesos A y B de un mismo experimento

aleatorio, definimos A ! B como el suceso que se verifica siempre que se verifica A ó

siempre que se verifica B. (Ver figura 2.1).

A B

A B

!

Figura 2.1: Representación gráfica de la UNIÓN

Intersección de sucesos: dados dos sucesos A y B de un mismo experimento

aleatorio, definimos A ! B como el suceso que se verifica siempre que se verifican A

y B al mismo tiempo. (Ver figura 2.2)

112

A ! B

A B

Figura 2.2: Representación gráfica de la INTERSECCIÓN

EJEMPLO 2.2:

Un aficionado a los casinos tiene tiempo para jugar a la ruleta cinco veces a lo

sumo.

Cada apuesta es de 1000 pts. Empieza con 1000 pts. y deja de jugar cuando

pierda las 1000 pts. o cuando gane 3000 pts. Obtener el espacio muestral.

Solución:

El espacio muestral sería:

E = {P, GG, GPP, GPGG, GPGPG, GPGPP}

113

EJEMPLO 2.3:

Se ha observado la distribución del sexo de los hijos en familias de tres hijos.

Sean los sucesos:

A: "el hijo mayor es varón"

B: "los dos hijos pequeños son varones"

¿Cuáles son los elementos de A y de B?

Solución

A = {VVV, VVH, VHV, VHH} B = {HVV, VVV}

EJEMPLO 2.4:

En una encuesta, los resultados del interrogatorio de cada persona se reflejan en

una tarjeta. En las tarjetas se consideran el sexo, la edad (mayor o menor de 30 años),

y la respuesta a la pregunta (Sí, No). Se pide:

a) El espacio muestral.

b) Formar los siguientes sucesos:

A: "Hombre menor de 30 años"

B: "Mujer"

C: "Persona mayor de 30 años que ha respondido sí"

Solución:

Para responder a todas las cuestiones, basta tener en cuenta el árbol anterior.

114

2.1.3 Frecuencia y probabilidad

Vamos a tratar de establecer la idea de probabilidad como, límite de las

frecuencias. Lanzamos un dado perfectamente construido y suponemos que obtenemos

la siguiente distribución de frecuencias:

Nº de la cara frecuencia absoluta

1 27

2 25

3 32

4 27

5 33

6 36

180

Completa la distribución con las frecuencias relativas. Dobla el número de tiradas

y observa que las frecuencias relativas tienden a estabilizarse en torno a un cierto

número. Este hecho es característico de los experimentos aleatorios y suele llamarse

"estabilidad de las frecuencias" y el número hacia el que tienden se llama probabilidad

del suceso. Esta probabilidad ha sido asignada después de realizar un experimento y se

conoce con el nombre de probabilidad "a posteriori".

2.1.3.1 Probabilidad de Laplace

En el supuesto de que todos los sucesos elementales tengan la misma probabilidad

(sucesos equiprobables) se define:

La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de

casos favorables a la verificación del suceso y el número de casos

posibles.

P(A) =

Nº de casos favorables

Nº de casos posibles

Cuando asignamos la probabilidad a un suceso sin necesidad de experimentar, se

conoce como probabilidad "a priori".

115

2.1.3.2 Propiedades de la probabilidad

* P(Ø) = 0

* P(E) =1

* P A ! Ac ( ) = 1 = P(A) + P Ac ( )

* 0 " P(A) " 1

2.1.3.3 Dependencia e independencia de sucesos

Disponemos de una urna con 10 bolas blancas y 10 bolas negras y consideramos

el siguiente experimento:

El = "sacar dos bolas, una a continuación de otra que devolvemos a la urna"

E2 = "hacemos lo mismo, pero no devolvemos a la urna".

Suponemos los siguientes sucesos:

A: "salir negra en la lª extracción".

B: "salir negra en la 2ª extracción"

En ambos experimentos, queremos calcular el suceso A ! B y calcular P(A !B):

a) Veamos qué ocurre cuando consideramos el experimento E1:

P(A) =

10

20

P(B) =

10

20

P(A !B) =

VR10,2

VR 20,2

=

102

20

2

=

1

4

Podemos observar que:

P(A !B) = P(A)P(B)

Diremos que los sucesos A y B son independientes.

116

b) En el caso de considerar el experimento E2:

P(A !B) =

C10,2

C20,2

=

45

190

Puesto que las bolas no vuelven a la urna, no podemos sacar una repetida. En este

caso la 2ª extracción está condicionada al resultado de la lª.

P(A !B) = P(A)P B

( A)

Diremos que los sucesos A y B son dependientes.

2.1.3.4 Probabilidad condicionada

Veamos un ejemplo:

Los resultados de una encuesta sociológica acerca de la actitud política progresista

o conservadora realizada sobre 334 universitarios de ambos sexos, con edades

comprendidas entre 18 y 21 años, están registradas en la siguiente tabla:

A: varones Ac: mujeres Total

B: actitud progresista 145 42 18

BC: actitud conservadora 51 96 147

Total 196 138 334

P B

( A) =

145

196

P(A) =

196

334

!

"

#

$

#

P(A % B) = P(A)P B

( A) =

145

334

Se llama probabilidad condicionada de B/A:

P B

( A) =

P(A !B)

P(A)

si P(A) " 0

Análogamente:

P A

( B) =

P(A !B)

P(B)

si P(B) " 0

117

2.1.3.5 Probabilidad de la unión de sucesos en el

caso de que A!B " Ø

A B

A B

!

Figura 2.3: Unión de sucesos

A ! B= (A " B)!(A #B)!(B" A)

A = (A " B)!(A # B) P(A) = P(A " B) + P(A # B)

B = (B" A)!(A # B) P(B) = P(B" A) + P(A #B)

P(A !B) = P(A " B) + P(A # B) + P(B" A)

P(A !B) = P(A) " P(A #B) + P(A # B) + P(B) " P(A #B)

P(A !B) = P(A) + P(B) " P(A # B)

EJEMPLO 2.5:

Se ha comprobado que en una ciudad están enfermos con diarrea el 60% de los

niños; con sarampión el 50% y el 20% con ambas enfermedades.

a) Calcular la probabilidad de que elegido un niño al azar esté enfermo con

diarrea, sarampión o ambas enfermedades.

b) En un colegio con 500 alumnos ¿Cuántos cabe esperar que estén enfermos con

diarrea o sarampión?.

Solución:

Sean los sucesos:

A: "estar enfermo con diarrea".

B: "estar enfermo con sarampión".

118

a)

P(A !B) = P(A) + P(B) " P(A # B) =

= 0, 6 + 0, 5 " 0, 2 = 0, 9

El 90% de los niños tienen alguna de las dos enfermedades.

b) 500 x 0,9 = 450 niños que están enfermos.

EJEMPLO 2.6:

Un producto está formado por tres partes A, B y C. El proceso de fabricación es

tal que la probabilidad de un defecto en A es 0,03, de un defecto en B es 0,04 y de un

defecto en C es 0,08. ¿Cuál

...