PROBABILIDAD

PROBABILIDAD

DEFINICIONES DE LA PROBABILIDAD.

La palabra probabilidad se utiliza para cuantificar nuestra creencia de que ocurra un acontecimiento determinado. Existen tres formas de estimar probabilidades: el enfoque clásico, el cual se aplica cuando todos los resultados posibles que se consideran igualmente probables; el de frecuencias relativas o probabilidad empírica, se refiere a la estimación con base en un gran número de experimentos repetidos en las mismas condiciones. El enfoque subjetivo basado en situaciones especiales, en las cuales no es posible repetir el experimento y sólo usa un grado de confianza personal.

PROBABILIDAD CLÁSICA O DE LAPLACE (fines del siglo XVI).

Bajo este concepto definiremos la probabilidad de obtener un determinado resultado A, en un experimento aleatorio como la relación por cociente, entre el número de casos favorables a su ocurrencia, y el número de casos posibles. Si representamos la probabilidad de ocurrencia del evento

A, por P(A), se tendrá:

P(A)=(Casos favorables al evento A)/(Casos posibles )

Esta es la definición clásica o apriori (antes de), es de aplicación fácil, pues no se necesita de ningún experimento para su cálculo, sino únicamente el conocimiento de las condiciones en que se realiza el experimento. Se supone que todos los resultados posibles son conocidos, y que todos tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Ejemplo:

Si una urna contiene 10 esferas blancas, 15 azules y 5 rojas, la probabilidad de extraer al azar una esfera blanca, es:

Esta probabilidad se basa en razonamientos abstractos y no depende de la experiencia, lo cual permite estimar probabilidades sin realizar una gran cantidad de experimentos.

PROBABILIDAD FRECUENTISTA O DE VON MISES (frecuencias relativas 1957)

La probabilidad experimental de que ocurra un evento es la frecuencia relativa observada con que ocurre ese evento. Si un experimento se realiza n veces, bajo las mismas condiciones y si ocurren n(A) resultados favorables al evento A, el valor estimado de la probabilidad de que ocurra A como resultado de la experimentación, puede determinarse de la manera siguiente:

Donde n(A) es el número de veces que se observó realmente el evento A, y n es el número de veces que se efectuó el experimento.

La probabilidad estimada, obtenida en esta forma, se denomina probabilidad experimental. A medida que aumenta el número de ensayos o experimentos, la probabilidad estimada de que ocurra un evento, que se obtiene a través de la frecuencia relativa, se va acercando al valor apriori.

Por medio del enfoque de frecuencias relativas, la probabilidad se determina sobre la base de la proporción de veces que ocurre un resultado favorable, en un número de observaciones o experimentos. No hay supuesto previo de iguales probabilidades.

EJEMPLO:

De 70 alumnos que se inscribieron al curso de probabilidad y estadística en el semestre anterior. 15 no lo terminaron, 20 obtuvieron una calificación de NA y el resto lo aprobaron, ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno acredite la materia?

PROBABILIDAD SUBJETIVA (1969)

La probabilidad estimada mediante los enfoques clásicos y experimental, son completamente objetivos, ya que se determinan con base en hechos reales. En cambio, en algunos casos se presentan situaciones en las cuales no es posible realizar experimentos repetitivos y los resultados tampoco son igualmente probables. En estas condiciones, la probabilidad de ocurrencia de un evento debe evaluarse en forma subjetiva.

Tales apreciaciones suelen ser de criterio personal, y por lo tanto, dos personas pueden cuantificar en forma diferente, la probabilidad subjetiva del mismo evento. Podemos entonces considerar la probabilidad subjetiva como la evaluación personal de la ocurrencia de un evento incierto, que se hace con base en criterios o experiencias sobre casos semejantes.

Definición axiomática de probabilidad

Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada suceso A un valor numérico P(A) y que verifica las siguientes reglas (axiomas)

P(E)=1 (E es el evento seguro)

0≤P(A) ≤1

P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø

Ø es el conjunto vacío.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

La probabilidad condicional se simboliza P(B/A), que se lee probabilidad de B, dado A, o la probabilidad de que ocurra B, condicionado a que haya ocurrido A.

Se dice que dos o más eventos son independientes entre sí cuando la probabilidad de que ocurra uno no es influida por la ocurrencia de otro. Si A y B representan dos eventos y si la ocurrencia de A no afecta a la ocurrencia de B, y la ocurrencia de B no afecta a la ocurrencia de A, entonces se dice que A y B son Independientes.

En este caso, la probabilidad de que ocurran A y B es igual al producto de sus respectivas probabilidades, y se expresa así:

Ejemplo:

En una caja hay 5 esferas blancas, 4 rojas y 3 negras. Se extrae una esfera, se observa su color y se regresa a la caja. Bajo estas condiciones, ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer 3 esferas, éstas sean de color rojo?

Si dos eventos A y B no son independientes, es decir, si A y B son dependientes, la probabilidad compuesta de A y B no es igual al producto de sus probabilidades respectivas. Por lo cual, podemos decir, que para eventos dependientes:

Es decir:

O

Ejemplo:

En una caja hay 5 esferas blancas, 4 rojas y 3 negras. Si se extraen al azar 3 esferas en forma consecutiva, sin reemplazo, ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 sean de color rojo? Sea R1 el evento extraer una esfera roja.

Sucesos

Suceso es cada posibles resultados de un experimento aleatorio

El conjunto de todos los resultados posibles es el espacio muestral (E)

Se llama suceso a un subconjunto del espacio muestral

Dado un suceso A, el suceso contrario (complementario), A’ (ó AC), es el formado por los elementos que no están en A

Se llama suceso unión de A y B, AUB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos.

Se llama suceso intersección de A y B, A∩B (o simplemente AB), al formado por los elementos que están en A y B

EXPERIMENTOS

En la probabilidad existen diferentes sucesos. Un experimento es cualquier situación u operación en la cual se pueden presentar uno o varios resultados de un conjunto bien definido de posibles resultados.

Los experimentos, si se repiten bajo idénticas condiciones, pueden ser de dos tipos:

Determinista: dadas unas condiciones iniciales, el resultado es siempre el mismo.

Aleatorio: dadas unas condiciones iniciales, conocemos el conjunto de resultados posibles, pero NO el resultado final.

Las siguientes son características de un experimento aleatorio:

• El experimento se puede repetir indefinidamente bajo idénticas condiciones.

• Cualquier modificación a las condiciones iniciales de la repetición puede modificar el resultado.

• Se puede determinar el conjunto de posibles resultados pero no predecir un resultado particular.

• Si el experimento se repite gran número de veces entonces aparece algún modelo de regularidad estadística en los resultados obtenidos.

2.2 Espacio muestral

Una muestra estadística es un subconjunto de casos o individuos de una población estadística. La muestra se toma para obtener un conocimiento de la población pero nunca proporciona información exacta, sino que incluye un cierto nivel de incertidumbre

Se llama espacio muestral S asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.

Ejemplo.

Al lanzar una moneda, el espacio muestral es S = {águila, sol}.

Ejemplo.

Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es S = {1, 2,3, 4,5, 6 }.

Tipos de espacios muéstrales:

Espacios muéstrales discretos: Son espacios muéstrales cuyos elementos resultan de hacer conteos, y por lo general son subconjuntos de los números enteros.

Espacios muéstrales continuos: Son espacios muéstrales cuyos elementos resultan de hacer mediciones y por lo general son intervalos en la recta

2.3 Ocurrencia de eventos

Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral.

Un evento se realiza, cuando el resultado del experimento aleatorio es un elemento del evento.

Son los que pueden dar lugar a varios resultados

No es previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.

Evento Nulo: Es aquél que no tiene elementos. Se representa por φ.

Evento Seguro: Es el espacio muestral que puede ser considerado como un evento.

Ejemplo.

Se hace un experimento en que se lanza de un dado y se quiere conocer ¿cuál es la probabilidad de que caiga un tres o un cinco?

Solución.

Si E contiene la totalidad de los resultados posibles, entonces E = {1, 2,3, 4,5, 6 } puesto que el dado tiene seis caras y si se busca la probabilidad P de que caiga tres o cinco, esto constituye un evento entonces, A = {3, 5 }.

...