PROBLEMAS ARITMETICOS Y ALGEBRAICOS

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

Lenguaje algebraico

El álgebra es una rama importante de las matemáticas pues es la base para los procedimientos utilizados en toda la matemática superior.

El álgebra generaliza los conceptos y operaciones aritméticas mediante la representación de cantidades desconocidas con letras.

Así, por ejemplo, para representar la cantidad de personas que hay en este momento en el parque Six Flags México usamos xx .

Podemos relacionar varias cantidades desconocidas mediante las operaciones básicas dando lugar a una expresión algebraica.

Ejemplo

5x+2y2−x5+y5x+2y2−x5+y x+yx+y x2−5x2−5

Cuando la cantidad contiene una igualdad, llamamos a la expresión una ecuación algebraica.

Ejemplo

x+y=8x+y=8 3x2−5y+2=15x+y23x2−5y+2=15x+y2 x2−5=0x2−5=0

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Expresiones algebraicas

Cuando se quiere representar en lenguaje algebraico una determinada situación que implica cantidades desconocidas, se emplea una expresión algebraica.

Para ello, se consideran las letras aa , bb , cc ... para representar cantidades que pueden conocerse en un momento dado de un problema en particular y se llaman constantes.

Para las cantidades desconocidas, llamadas incógnitas o variables, se acostumbra utilizar las últimas letras del alfabeto: xx , yy , zz . Por ejemplo, para la suma de dos números desconocidos distintos usamos la expresión:

x+yx+y

Puede plantarse también una ecuación.

Por ejemplo

El enunciado "el doble de un número es igual a 60" se representa como:

2x=602x=60

Por último se puede representar una fórmula.

Por ejemplo

La fórmula general de solución de ecuaciones cuadráticas que se estudiará más adelante se representa por la expresión:

x=−b±√b2−4ac2ax=−b±b2−4ac2a

Donde aa , bb , cc son los valores que tendrán los coeficientes de la ecuación cuadrática dada.

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Propiedades de la igualdad

Una ecuación es una igualdad, por lo que la solución de ella requiere del correcto uso de las propiedades de la igualdad.

Las propiedades de la igualdad son:

Propiedad reflexiva

a=aa=a

Ejemplo

4=44=4

5+6=115+6=11

Propiedad simétrica

Si a=ba=b entonces b=ab=a .

Ejemplo

Si 3+5=83+5=8 entonces 8=3+58=3+5 .

Propiedad transitiva

Si a=ba=b y b=cb=c entonces a=ca=c

Ejemplo

Si 3+4=73+4=7 y 7=5+27=5+2 entonces 3+4=5+23+4=5+2

Propiedad de sustitución

Consiste en la posibilidad de cambiar una parte de una expresión por su equivalente o sustituir letras por sus correspondientes valores númericos

Ejemplo

Si

x=2a+b+cx=2a+b+c

a=8a=8 , b=3b=3 y c=5c=5

Entonces:

x=16+3+5x=16+3+5

x=24x=24

Solución de una ecuación

Dada una expresión algebraica, llamamos Solución de la ecuación a los valores para las incognitas que satisfacen la igualdad.

Ejemplo

Si la ecuación dada es:

2x+4=142x+4=14

La solución es x=5x=5 ya que:

2(5)+4=142(5)+4=14

10+4=1410+4=14

14=1414=14

Mientras que x=3x=3 no es la solución por que:

2(3)+4=142(3)+4=14

6+4=146+4=14

10=1410=14

Operaciones válidas en igualdades

Para proceder a obtener la solución de una ecuación usuamos la combinación de las propiedades válidas para igualdades:

Suma o resta de igualdades

Si a=ba=b y x=yx=y

entonces

a+ba+b = b + yyy a - x = b - y$

Una versión simplificada es el hecho de poder sumar o restar el mismo valor a ambas partes o miembros de la igualdad.

Ejemplo

Dada x−5=8x−5=8

Sumando a ambos miembros:

+5+5

x−5+5=8+5x−5+5=8+5

x=13x=13

Multiplicación o división de igualdades

Si a=ba=b y x=yx=y entonces xa=ybxa=yb siempre que x≠0x≠0 y y≠0y≠0

Una versión simplificada es el hecho de poder multiplicar o dividir el mismo valor a ambas partes o miembros de la igualdad. Excepto dividir entre cero.

Ejemplo

2x=142x=14

Dividiendo ambos miembros por 22

2x2=1422x2=142 x=7x=7

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Monomios y polinomios

La expresión algrebraica más sencilla se denomina término algebraico y está formado por cuatro elementos:

1. Signo (positivo + o negativo -)
2. Coeficiente
3. Parte literal
4. Exponente(s)

Ejemplo

−5x2−5x2

Ejemplo

+12a2b3+12a2b3

Nota: en ciertas ecuaciones, el signo (+)(+) , coeficiente 11 y el exponente 11 se sobreentienden, es decir, no se escriben pero sí se consideran.

Ejemplo

xx

Cuando una expresión está formada por un único término se llama monomio

Si la expresión contiene varios términos, se llama polinomio

Ejemplo

Los polinomios, a su vez, pueden llamarse de manera especial contando los términos que contiene.

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