Principales leyes de distribución de variables aleatorias

6. Principales leyes de distribución de variables aleatorias

6.2 Introducción

Como complemento al capítulo anterior en el que definimos todos los conceptos relativos a variables aleatorias, describimos en éste las principales leyes de probabilidad que encontramos en las aplicaciones del cálculo de probabilidades. Atendiendo a la clasificación de las v.a. en discretas y continuas describiremos las principales leyes de probabilidad de cada una de ellas, las cuales constituirán el soporte subyacente de la inferencia estadística y a las que será necesario hacer referencia en el estudio de dicho bloque. Iniciamos este capítulo con el estudio de las distribuciones para v.a. discretas.

6.4 Distribuciones discretas

6.4.2 Distribución de Bernoulli

Consiste en realizar un experimento aleatorio una sóla vez y observar si cierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto sea así (éxito) y q=1-p el que no lo sea (fracaso). En realidad no se trata más que de una variable dicotómica, es decir que únicamente puede tomar dos modalidades, es por ello que el hecho de llamar éxito o fracaso a los posibles resultados de las pruebas obedece más una tradición literaria o histórica, en el estudio de las v.a., que a la situación real que pueda derivarse del resultado. Podríamos por tanto definir este experimento mediante una v.a. discreta Xque toma los valores X=0 si el suceso no ocurre, y X=1 en caso contrario, y que se denota [pic 1]

[pic 2]

Un ejemplo típico de este tipo de variables aleatorias consiste en lanzar una moneda al aire y considerar la v.a.

[pic 3]

Para una v.a. de Bernouilli, tenemos que su función de probabilidad es:

[pic 4]

y su función de distribución:

[pic 5]

Su función característica es:

[pic 6]

Los principales momentos de la X los podemos calcular directamente

[pic 7]

o bien usando la función característica y la proposición de la página [pic 8]:

[pic 9]

[pic 10]

6.4.2.1 Observación

En este caso tan simple no se aprecia la ventaja de usar la función característica en el cálculo de momentos, pero en las próximas leyes de probabilidad que son más complicadas, esta ventaja se hará manifiesta.

6.4.4 Distribución binomial

Se dice que una v.a. X sigue una ley binomial de parámetros n y p, [pic 11], si es la suma de n v.a. independientes de Bernouilli con el mismo parámetro, p:  [pic 12] 
Esta definición puede interpretarse en el siguiente sentido: Supongamos que realizamos n pruebas de Bernouilli, Xi, donde en todas ellas, la probabilidad de éxito es la misma (p), y queremos calcular el número de éxitos, X, obtenidos el el total de las n pruebas. Su ley de probabilidad es6.1 En la Figura 6.1 se representa la función de probabilidad de una variable binomial.

[pic 15]

Por tanto, su función de distribución es

[pic 16]

El modo más simple de calcular la función característica nos lo da el teorema de la página [pic 17], que afirma que la función característica de la suma de variables independientes es el producto de las funciones características de estas:

[pic 18]

Los principales momentos de X los calculamos más fácilmente a partir de [pic 19](prop. página 5) que de su propia definición:

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

6.4.4.1 Ejemplo

Un médico aplica un test a 10 alumnos de un colegio para detectar una enfermedad cuya incidencia sobre una población de niños es del [pic 23]. La sensibilidad del test es del [pic 24]y la especificidad del [pic 25]. ¿Cual es la probabilidad de que exactamente a cuatro personas le de un resultado positivo? Si en la muestra hay cuatro personas a las que el test le da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que entre estas, exactamente dos estén sanas? Calcular la probabilidad de que el test suministre un resultado incorrecto para dos personas. Calcular la probabilidad de que el resultado sea correcto para más de 7 personas.

Solución: 

Los datos de que disponemos son:

[pic 26]

donde E, T+, y T- tienen el sentido que es obvio. Si queremos saber a cuantas personas el test le dará un resultado positivo, tendremos que calcular [pic 27], para lo que podemos usar el teorema de la probabilidad total (estar enfermo y no estarlo forman una colección exhaustiva y excluyente de sucesos):

[pic 28]

Sea X1 la v.a. que contabiliza el número de resultados positivos. Es claro que llamando [pic 29], se tiene que X sigue una distribución binomial

[pic 30]

Por ello la probabilidad de que a cuatro personas le de el resultado del test positivo es:

[pic 31]

Si queremos calcular a cuantas personas les dará el test un resultado positivo aunque en realidad estén sanas, hemos de calcular previamente [pic 32], o sea, el índice predictivo de falsos positivos:

[pic 33]

Es importante observar este resultado. Antes de hacer los cálculos no era previsible que si a una persona el test le da positivo, en realidad tiene una probabilidad aproximadamente del [pic 34]de estar sana. Sea X2 la variable aleatoria que contabiliza al número de personas al que el test le da positivo, pero que están sanas en realidad. Entonces

[pic 35]

y

[pic 36]

Por último vamos a calcular la probabilidad p3 de que el test de un resultado erróneo, que es:

[pic 37]

La variable aleatoria que contabiliza el número de resultados erróneos del test es

[pic 38]

Como la probabilidad de que el test sea correcto para más de siete personas, es la de que sea incorrecto para menos de 3, se tiene

[pic 39]

6.4.6 Distribución geométrica ( o de fracasos)

Consideramos una sucesión de v.a. independientes de Bernouilli,

[pic 40]

Una v.a. X sigue posee una distribución geométrica, [pic 41], si esta es la suma del número de fracasos obtenidos hasta la aparición del primer éxito en la sucesión [pic 42]. Por ejemplo

[pic 43]

De este modo tenemos que la ley de probabilidad de X es

[pic 44]

6.4.6.1 Observación

Es sencillo comprobar que realmente f es una ley de probabilidad, es decir, [pic 45]. Para ello basta observar que la sucesión [pic 46]es una progresión geométrica de razón q, a la que podemos aplicar su fórmula de sumación:

[pic 47]

6.4.6.2 Observación

En la distribución geométrica el conjunto de posibles valores que puede tomar la variable ([pic 48]) es infinito numerable, mientras que en la de Bernouilli y en la binomial, estos eran en número finito.

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