Probabilidad

Periodo: Enero – Abril – 2014

FICHERO DESARROLLADO DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

FICHA 1

TEMA: PROBABILIDAD

Significado de probabilidad

En ocasiones cuando se habla de probabilidad o posibilidad de que un evento ocurra, se pierde la credibilidad acerca del evento en cuestión, pero ¿es posible tener siempre la certeza total en todo proyecto o actividad que se desea realizar?, es muy difícil tenerla, debido a que el llevar a efecto un proyecto cualquiera por más simple que este sea, éste está sujeto a una gran diversidad de factores que afectan su ocurrencia, ¿entonces qué es lo más aconsejable para predecir su ocurrencia?, la probabilidad es la que nos ayuda en estos casos, ya que basándose en estadísticas, podemos cuantificar la posibilidad de ocurrencia de los eventos y por consiguiente tomar una buena decisión basados en esta información.

A) CONCEPTO.

La probabilidad se encarga de evaluar todas aquellas actividades en donde se tiene incertidumbre acerca de los resultados que se pueden esperar, esto quiere decir que la probabilidad está presente en casi en todas las actividades que se pretenda realizar, ejemplos:

-Cualquier proyecto de Ingeniería o de otras áreas

-Competencias deportivas

-Juegos de azar, etc., etc.

¿Cómo podemos calcular probabilidades?

1. Haciendo uso de las estadísticas.

En este caso, se hace uso de la información que se ha acumulado acerca del evento que nos interesa, y después de esto se procede a calcular las probabilidades requeridas.

Ejemplo. Determine la probabilidad de que en cierta línea de producción se manufacture un producto defectuoso, si se toma como referencia que la producción de la última semana en esta línea fue de 1,500 productos, entre los que se encontraron 8 productos defectuosos.

p(producto defectuoso) = No de productos defectuoso /Total de productos producidos en la semana

= 18 / 1500 = 0.012

Lo anterior nos indica que es muy probable que 1.2 productos de cada 100 que se manufacturen en esa línea serán defectuosos.

¿Por qué se utilizó para calcular las probabilidades la información de la semana inmediata anterior?. Debido a que esta refleja la situación que guarda actualmente la producción de la línea mencionada.

2. Basándose en la experimentación. Hay casos en los que después de repetir un número muy grande de veces un experimento, es posible determinar las probabilidades de ocurrencia de algunos eventos, tales como: La probabilidad de que aparezca águila al lanzar una moneda equilibrada, la probabilidad de que aparezca el número 3 en un dado, etc., etc.

Ejemplos:

p(águila) =1/2 = 0.5

p(aparezca el número 3)= 1 / 6 = 0.1666

3. Asignando probabilidades. En este caso se hace uso de las probabilidades obtenidas mediante estadísticas y la experimentación y se asignan a los eventos previamente descritos y a partir de ellas se determinan probabilidades de otros eventos.

A continuación se definen algunas cuestiones implícitas en el cálculo de probabilidades.

a) Espacio muestral ().- Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Es nuestro Universo.

Ejemplos:

1. Se lanza al aire un dado normal (perfectamente equilibrado), enumere los posibles resultados de este experimento.

= 1, 2, 3, 4, 5, 6 

2. Se lanza al aire dos veces una moneda normal, defina su espacio muestral.

 = AA, AS, SA, SS

b) Evento A.- El evento A es un subconjunto del espacio muestral.

Ejemplos:

1. Sea A el evento de que aparezca un número par en el lanzamiento de un dado, entonces;

A = 2,4,6

2. Sea B el evento de que aparezcan dos águilas en tres lanzamientos de una moneda normal, entonces;

Como  = AAA, AAS, SAA, ASA, ASS, SAS, SSA, SSS

Luego B = AAS, SAA, ASA

a) Sea  un evento que carece de elementos.

 =  

Como se observa los experimentos y eventos probabilísticos se pueden expresar con la notación de conjuntos y a continuación se enumeran algunas operaciones que es posible realizar con los eventos.

1) AB Es el evento que ocurre si y solo sí A ocurre o B ocurre o ambos ocurren.

AB =

2) AB Es el evento que ocurre sí y solo sí A y B ocurren a un mismo tiempo.

3) Ac Es el complemento de A. Es el evento que ocurre sí y solo sí A no ocurre.

1) Se dice que A y B son eventos mutuamente excluyentes o exclusivos si AB = 

Ejemplo:

En un salón de clase hay 15 alumnos, 7 de los cuáles son de tercer semestre, 5 son de cuarto semestre y 3 son de quinto semestre de la carrera de Ingeniería Química, de los cuales 4, 2 y 1 respectivamente dominan el Inglés, si se selecciona un alumno al azar de este grupo, a. ¿cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado sea de quinto semestre?, b. ¿cuál es la probabilidad de que sea de tercero o cuarto semestre?, c. ¿cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado sea de tercer semestre y domine el inglés?, d. ¿cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado no domine el inglés?, e. Diga si los eventos T y Q son mutuamente excluyentes, diga si los eventos Q e I son mutuamente excluyentes?

Solución:

Empezaremos por definir algunos eventos;

T = evento de que un alumno sea de tercer semestre

Cu = evento de que un alumno sea de cuarto semestre

Q = evento de que un alumno sea de quinto semestre

I = evento de que un alumno domine el inglés

a. p(alumno seleccionado sea de quinto semestre) = p(Q) = 3/15 = 0.2

b. p(alumno seleccionado sea de tercero o cuarto semestre)= p(T Cu) =

= p( T) + p(Cu) = 7/15 + 5/15 = 12/15 = 0.8

c. p(alumno sea de tercer semestre y domine el inglés) = p(T  I) = 4/15 = 0.26667

d. p(alumno seleccionado no domine el inglés) = p(Ic ) = 8/15 = 0.53333

e. Los eventos T y Q son mutuamente excluyentes dado que TQ = 

Los eventos Q e I no son eventos mutuamente excluyentes, ya que QI= 1

Ya que hay un alumno que cumple con ambos eventos, es de quinto semestre y domina el inglés.

Probabilidad a priori y a posteriori

DEFINICIÓN CLÁSICA DE LAPLACE O "A PRIORI"

Esta definición es de uso limitado puesto que descansa sobre la base de las siguientes dos condiciones:

1. El espacio muestra de todos los resultados posibles S es finito.

2. Los resultados del espacio muestra deben ser igualmente probables.

Bajo estas condiciones y si A es el evento formado por n(A) resultados del espacio muestra y, el número total de resultados posibles es n(S), entonces

Ejemplo 24: Si se extrae una carta de un paquete de 52 cartas de las cuales 26 son negras (13 espadas A, 2, 3, ¼ , 10, J, Q, K; 13 son tréboles); y 26 son rojas (13 corazones y 13 diamantes), la probabilidad de que la carta sea un as es porque el evento de "extraer un as" consta de 4 de los 52 resultados igualmente probables. La probabilidad de que la carta sea negra es y la probabilidad de que sea un diamante es .

Ejemplo 25: Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par?

Solución: S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, y hay tres pares, luego,

Ejemplo 26: ¿Cuál es la probabilidad de que una familia que tiene tres hijos, hayan dos niñas y un niño, si se considera igualmente probable el nacimiento de un niño o niña?

Solución: Usando "a" para niña y "o" para niño, el espacio muestra es:

S = {aaa, aao, aoa, aoo, oaa, oao, ooa, ooo} n(S) = 8

El evento A en que hayan dos niñas y un niño es

A = {aao, aoa, oaa, } n(A) = 3

Obsérvese que siempre 0 < P(A) < 1, puesto que 0 < n(A) < n(S).

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DEFINICIÓN EMPÍRICA "A POSTERIORI" 0 FRECUENCIAL

La definición clásica se ve limitada a situaciones en las que hay un número finito de resultados igualmente probables. Por desgracia, hay situaciones prácticas que no son de este tipo y la definición de Laplace no se puede aplicar. Por ejemplo, si se pregunta por la probabilidad de que un paciente se cure mediante cierto tratamiento médico, o la probabilidad de que una determinada máquina produzca artículos defectuosos, entonces no hay forma de introducir resultados igualmente probables. Por ello se necesita un concepto más general de probabilidad. Una forma de dar respuesta a estas preguntas es obtener algunos datos empíricos en un intento por estimar las probabilidades.

Supongamos que efectuamos un experimento n veces y que en esta serie de n ensayos el evento A ocurre exactamente r veces, entonces la frecuencia relativa del evento es ,o sea,

Si continuamos calculando esta frecuencia relativa

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