Probabilidad

Taller de investigación

Distribución de probabilidades

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento. Una distribución de probabilidad es similar al distribución de frecuencias relativas .Si embargo, en vez de describir el pasado, describe la probabilidad que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

¿Qué es una distribución de probabilidad?

Muestra todos los resultados posibles de un experimento y la probabilidad de cada resultado.

¿Cómo generamos una distribución de probabilidad?

Supongamos que se quiere saber el número de caras que se obtienen al lanzar cuatro veces una moneda al aire?

Es obvio que, el hecho de que la Módena caiga de costado se descarta.

Los posibles resultados son: cero caras, una cara, dos caras, tres caras y cuatro caras.

Si realizamos el experimento obtenemos el siguiente espacio muestral:

NUMERO DE CARAS FRECUENCIA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

0 1 1/16

1 4 4/16

2 6 6/16

3 4 4/16

4 1 1/16

Variables discretas: Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde hasta el valor .

Distribuciones de variable discreta más importantes

Las distribuciones de variable discreta más importantes son las siguientes:

• Distribución binomial

• Distribución binomial negativa

• Distribución Poisson

• Distribución geométrica

• Distribución hipergeométrica

• Distribución de Bernoulli

• Distribución Rademacher, que toma el valor 1 con probabilidad ½ y el valor -1 con probabilidad ½.

• Distribución uniforme discreta, donde todos los elementos de un conjunto finito son equiprobables.

Ejemplo:

El número de perros que tienes en tu casa, porque se cuentan en enteros (1 perro, 2 perros, 3 perros, etc), porque no puede existir 1/2 de perro o 3.5 perros, ó el número de CDs que compraste (1 cd, 2 cds, 3cds) porque no puedes comprar 2 y medio Cds. Osea que las variables discretas sufren variaciones en cantidades enteras (1, 2 , 3 , 4 ,etc)

Número de personas que viven en una comunidad. Partos de una vaca, número de ciudades de un país. Es decir, son números enteros.

Teoremas útiles de la esperanza

Distribución binomial

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.

Ejemplo:

Un médico aplica un test a 10 alumnos de un colegio para detectar una enfermedad cuya incidencia sobre una población de niños es del . La sensibilidad del test es del y la especificidad del . ¿Cual es la probabilidad de que exactamente a cuatro personas le de un resultado positivo? Si en la muestra hay cuatro personas a las que el test le da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que entre estas, exactamente dos estén sanas? Calcular la probabilidad de que el test suministre un resultado incorrecto para dos personas. Calcular la probabilidad de que el resultado sea correcto para más de 7 personas.

Solución:

Los datos de que disponemos son:

donde E, T+, y T- tienen el sentido que es obvio. Si queremos saber a cuantas personas el test le dará un resultado positivo, tendremos que calcular , para lo que podemos usar el teorema de la probabilidad total (estar enfermo y no estarlo forman una colección exhaustiva y excluyente de sucesos):

Sea X1 la v.a. que contabiliza el número de resultados positivos. Es claro que llamando , se tiene que X sigue una distribución binomial

Por ello la probabilidad de que a cuatro personas le de el resultado del test positivo es:

Si queremos calcular a cuantas personas les dará el test un resultado positivo aunque en realidad estén sanas, hemos de calcular previamente , o sea, el índice predictivo de falsos positivos:

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