Probabilidad

TEORÍA DE LA PROBABILIDAD.

La estadística de la probabilidad es muy aplicada en investigaciones sociales, como también en la toma de decisiones en general. Muchos gerentes y administradores basan sus decisiones en la probabilidad de que ocurra un evento sobre todo en momentos de incertidumbre.

La probabilidad se puede definir como posibilidad de que ocurra algo, tomando en cuenta la experiencia del pasado.

La probabilidad de que ocurra algo, se expresa en fracciones comunes o principalmente en decimales, por ejemplo:

1/6 = 0.167 1/2 = 0.5 8/9 = 0.889 3/4 = 0.75

Pero una probabilidad nunca debe rebasar el número uno, ya que la probabilidad de que algo siempre ocurra es 1(que representa el 100%).

Estos decimales representan el por ciento de probabilidad de que algo ocurra, por ejemplo:

0.167 = 16.7% ; 0.5 = 50% ; 0.889 = 88.9% ; 0.75 = 75%

Podemos decir que si algo ocurre también puede ser que no ocurra. Por ejemplo, si decimos que existe el 65% (0.65) de probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas, entonces existe un 35% (0.35) de que no apruebe. En este caso 0.65 representa el éxito y 0.35 el fracaso.

p = 0.65 éxito q = 0.35 fracaso

Por lo que p + q = 1

Entonces: q = 1- p y p = 1 - q

Si p = 0.53, entonces q = 1-0.53, es decir: q = 0.47.

La probabilidad de que siempre ocurra es p = 1 y de que nunca, ocurra es p = 0.

Veamos una aplicación característica:

Ejemplo 1.- Si lanzamos una moneda legal, ¿cuál es la probabilidad de que salga el lado águila?

Como una moneda legal solo tiene dos lados, entonces, cada lado tiene la misma probabilidad de salir, es decir: p (águila) = 0.5 .

q (sol) = 1- 0.5, por lo que: q = 0.5

Como p + q = 1, entonces: 0.5 +0.5 = 1

Podemos concluir que la suma de todas las probabilidades posibles, siempre debe ser igual a uno (1).

En este caso como en otros parecidos, se dice que los eventos son “Mutuamente excluyentes”, porque sólo puede salir uno de los lados y no los dos al mismo tiempo. Si volvemos a lanzar la moneda legal y resulta el otro lado, se trata de otro evento totalmente independiente y siguen siendo “mutuamente excluyentes”.

Entonces “EVENTO”, es el resultado de lo que ha ocurrido al afectar un experimento. En el ejemplo de la moneda, el “experimento” es lanzar la moneda legal y el evento puede ser lado águila o lado sol.

Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento, se le da el nombre de “ESPACIO MUESTRAL” (S). En el caso de la moneda legal: S = {águila, sol}

Cuando una lista de eventos de un experimento contiene todos los resultados posibles, entonces se dice que es “colectivamente exhaustiva”.

Ejemplo 2.- Supongamos que tenemos una baraja de 40 naipes, ¿cuál es la probabilidad de que salga un as de espadas?.

Como son 40 naipes, entonces, la probabilidad de que salga un as es de 4/40, Porque una baraja tiene 4 ases de 40 naipes, o sea, 1/10 = 0.1. Pero como solo hay un as de espadas entonces, P (as espada) = 1/40 o sea 0.025. Si se pide la probabilidad de que no salga un as de espadas, entonces, esta probabilidad es de q =1- 0.025, o sea q = 0.975.

El experimento es sacar un naipe.

El evento es que resulte o no un as de espadas.

El espacio muestral es: S = { todos los naipes.}.

En este caso todos los naipes tienen la misma probabilidad de salir, es decir 1/40 ó 0.025, que representa el 2.5% de probabilidad.

Ejemplo 3.- Otro ejemplo sería lanzar un dado legal, cada lado tendría la misma probabilidad de salir al lanzarlo, como son 6 lados entonces:

Lado

Probabilidad

1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6

Total 6/6= 1

TIPOS DE PROBABILIDAD.

Existen tres tipos de probabilidad:

a) Enfoque clásico

b) Enfoque de frecuencia relativa.

c) Enfoque subjetivo.

a) El enfoque clásico: lo hemos venido aplicado en los ejemplos del lanzamiento de la moneda legal, en los naipes y en el lanzamiento del dado legal, por lo que podemos decir que:

Resultado donde ocurre el evento.

P (evento) =

Número total de posibles resultados.

En el lanzamiento de la moneda legal, sólo puede resultar un lado de la moneda, águila o sol, de dos posibles resultados águila y sol, entonces:

1

P (lado) = ó sea: P (lado) = 0.5

2

En el lanzamiento del dado legal, uno de los números puede salir solo una vez (1, 2, 3, 4, 5 ó 6 ), de seis posibles resultados, ya que un dado tiene seis caras, entonces :

1

P (número) = ó sea: P (número) = 0.1667

6

A este tipo de probabilidad también se le denomina probabilidad a priori, que significa a un futuro inmediato o al instante.

b) Probabilidad de frecuencia relativa de ocurrencia. Se define de dos formas:

a) Es la frecuencia relativa observada de un evento en un gran número de ensayos.

b) Es la proporción de las veces que un evento sucede a la larga cuando las condiciones son estables.

En resumen, en este caso, se utilizan como probabilidades, las frecuencias relativas de ocurrencias pasadas, o sea que vuelvan a ocurrir, es decir:

1º.- Determinamos la frecuencia de lo sucedido en el pasado y

2º.- Mediante esta frecuencia predecimos la probabilidad de que vuelva a ocurrir, siempre y cuando se mantengan estables las condiciones pasadas.

Ejemplo 1.- El año pasado de cada 100 niños que nacían, cinco no lograban sobrevivir. Como no se hizo nada por evitarlo, se puede predecir que seguirá sucediendo, entonces:

5

P (ocurra) = ó sea P (ocurra) = 0.05 ó 5 %

100

Recordemos que sólo se está prediciendo, no significa que realmente vuelva a ocurrir, solo es un dato para prevenir el mal o tomar una decisión del pasado, para mejorar el futuro.

c) La probabilidad subjetiva está basada en creencias e ideas de quien realiza la evaluación de la probabilidad, que se debe ser un experto y solo se basa en las evidencias que pueden existir, ve lo que ha ocurrido con mayor frecuencia y sin ningún cálculo da su propia conjetura. Se aplica la sabiduría, pues no hay pretexto de fallar aunque no existan experiencias anteriores.

Por ejemplo: Está nublado, por lo tanto, va a llover. Otro sería: en ese crucero ocurren muchos accidentes, si no ponen un semáforo, aumentarán estos.

REGLAS DE PROBABILIDAD.

Se utilizan por lo regular en dos situaciones de probabilidad:

a) En el caso de que ocurran uno u otro evento, es decir; cuando son mutuamente excluyentes.

b) En el caso de ocurran dos o más eventos al mismo tiempo, es decir cuando son eventos no mutuamente excluyentes.

Desde luego, el que más nos interesa es el primero, aunque no descartamos el segundo.

En la primera situación el símbolo que se emplea es:

P(a) = la probabilidad de que el evento ocurra.

Esto es una probabilidad individual y solo puede ocurrir un evento. A esto se le denomina “probabilidad marginal” o “incondicional”.

Ejemplo: Se requiere rifar un boleto ante 20 estudiantes de la E.T.A.C., para que asistan a un concierto de rock en el palacio de los deportes, ¿cuál es la probabilidad de que uno de los alumnos lo gane?.

Desde luego ya sabemos la respuesta, cada alumno tiene la misma probabilidad de obtener

...