Probabilidad

1. Un jugador tiene tres oportunidades de lanzar una moneda para que aparezca una cara, el juego termina en el momento en que cae una cara o después de tres intentos, lo que suceda primero. Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento aparece cara el jugador recibe $20000,$40000 o $80000 respectivamente, si no cae cara en ninguno de los tres pierde $200000. Si X representa la ganancia del jugador:

a.- Encuentre la función de probabilidad f(x)

b.- Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación estándar S(x)

Desarrollo

Probabilidad de sacar cara en la primera tirada = Probabilidad de tirar una moneda y que salga cara

= 1/2→ P(C)=1/2→ P( $ 20000)=1/2

Probabilidad de sacar cara en la segunda tirada = Probabilidad de tirar una moneda y que salga ceca la primera vez y volver a tirarla y que salga cara la segunda vez

=1/2.1/2→ P(no C; C)=1/4→ P( $ 40000) = 1/4

Probabilidad de sacar cara en la tercera tirada = Probabilidad de tirar una moneda y que salga ceca la primera vez y volver a tirarla y que salga ceca la segunda vez y volver nuevamente tirarla y que salga cara

=1/2.1/2.1/2→ P(no C; no C; C)=1/8→ P( $ 80000) = 1/8

Probabilidad de no sacar cara en ninguna de las tres tiradas = Probabilidad de tirar una moneda y que salga ceca la primera vez y volver a tirarla y que salga ceca la segunda vez y volver nuevamente tirarla y que salga ceca

=1/2.1/2.1/2→ P(no C; no C; noC)=1/8→ P( - $ 200000) = 1/8

Se cumple que f(x)>0 para todo x

∑▒〖f(x)=1〗

b) Esperanza matemática E(x)=∑▒⌊x f(x)⌋

varianza δ^2=∑▒〖(x-μ)^2 f(x) 〗

Esperanza: E(x)=∑▒⌊x f(x)⌋ =5.000

Varianza:δ^2=∑▒〖(x-μ)^2 f(x) 〗=6.375.000.000

Desviación estándar δ=√6.375.000.000=79.843,6

(x) F(x) xf(x) (x-μ)^2 F(x)

-200.000 0,125 -25.000 5.253.125.000

20.000 0,500 10.000 112.500.00

40.000 0.250 10.000 306.250.000

80.000 0.125 10.000 703.125.000

5.000 6.375.000.000

2. Sea X una variable aleatoria con función de densidad

f(x)={█(a(4x-x^3 ) 0≤x≤2@0 en otro caso)┤

a.- Determine el valor de a para que la función sea efectivamente una función de densidad de probabilidad

b.- Calcule P ( 1 < X < 1,5)

Desarrollo

∫_a^b▒f(x)dx=1

∫_0^2▒a(4x-x^3 )dx=1

a∫_0^2▒〖4xdx-∫_0^2▒〖x^3 dx〗〗=1

a[(4x^2)/2-x^2/4]_0^2=1

a[2x^2-x^2/4]_0^2=1

a[(2(2)^2-2(0)^2 )-(2^4/4-0^4/4)]=1

a[8-4]=1

a[4]=1

a=1/4

P ( 1 < X < 1,5)

∫_a^b▒f(x)dx=1

=∫_1^1.5▒〖1/4 (4x-x^3 )dx〗

=∫_1^1.5▒〖x dx-∫_0^2▒〖x^3/4 dx〗〗

=[x^2/2-x^2/16]_1^1.5

=[〖1.5〗^2/2-1^2/16]-[〖1.5〗^4/2-1^4/16]

=[(1,125-0,5)-(0,32-0,06)]

=(0,625-0,26)

=0,365

3. Se sabe que el 60% de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos contra cierta enfermedad. Si se inoculan 5 ratones, encuentre la probabilidad de que:

a.- ninguno contraiga la enfermedad.

b.- menos de 2 contraigan la enfermedad.

c.- más de 3 contraigan la enfermedad.

Desarrollo

Sea A = ninguno contraiga la enfermedad

P(A)=0,4*0,4*0,4*0,4*0,4=(5¦5)*〖0,4〗^5*〖0,6〗^0=0.01024

La probabilidad de que ninguno contraiga la enfermedad es de 1.02%

P(X=0)+P(x=1)+p(x=2)=(0.01025+(5¦1)*0,6*〖0,4〗^4+(5¦2)*〖0,6〗^2*〖0,4〗^3

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