Probabilidad

4 Probabilidad condicionada.

En ocasiones, se dispone de informaci´on adicional sobre el experimento, y la asignaci´on inicial de

probabilidades, debe ser modificada:

Ejemplo 3:

Si se considera el experimento “tirar una moneda dos veces”, el conjunto de posibles resultados

ser´ıa:

Ω = { CC, CX, XC, XX } (donde C=cara y X=cruz)

Al suceso “obtener cara en la primera tirada y cruz en la segunda” le asignar´ıamos la probabilidad

1/4 (usando equiprobabilidad). Sin embargo, si disponemos de la informaci´on adicional de que la

primera tirada ya se ha realizado y sali´o cara, la probabilidad de este suceso ser´ıa 1/2. ¿Qu´e diferencia

hay entre una situaci´on y otra? La diferencia es que, al disponer de informaci´on adicional, el espacio

muestral ha cambiado; ahora es un subconjunto del espacio muestral Ω

: {CX, CC}

Definici´on 8 Sea Ω el espacio muestral de un experimento aleatorio, A y B dos sucesos con p(B) =

0. Se define la probabilidad condicionada del suceso A al suceso B (a que haya ocurrido el suceso B)

como:

p(A/B) = p(AB)

p(B)

.

An´alogamente, se define la probabilidad del suceso B condicionado porque haya ocurrido A como:

p(B/A) = p(AB)

p(A)

, siempre que p(A) = 0.

Se deduce p(AB) = p(A)p(B/A) = p(B)p(A/B). Se tiene en general

p(A1

A2 •••An) = p(A1)p(A2/A1)p(A3/A1

A2)•••p(An/A1 •••An−1)

siempre que p(A1 •••An−1) ≠ 0

3 La probabilidad condicionada p(A/B) es una probabilidad definida sobre el conjunto

de sucesos Ω, cuya intersecci´on con B es no vac´ıa; por tanto, verifica todas las propiedades de la

probabilidad. (Se puede comprobar f´acilmente)

Definici´on axiom´atica de probabilidad.

La definici´on de probabilidad con la que se suele trabajar es la definici´on axiom´atica de probabilidad

que introdujo en 1933 el matem´atico ruso Kolmogorov:

Definici´on 7 Si Ω es el espacio muestral de un experimento aleatorio, se define una probabilidad

en Ω como una aplicaci´on p, que asigna a cada suceso A un n´umero real p(A) y que cumple las

siguientes propiedades:

1. Si A es un suceso, 0 ≤ p(A) ≤ 1.

2. p(Ω) = 1.

3. Si A1, A2,...,An,... son sucesos mutuamente excluyentes, (es decir Ai

∩ Aj

= ∅, i = j)

entonces p (∪

∞

i=1Ai

) =∞

i=1

p(Ai

).

Observaci´on 2 1. Notar que las propiedades de la probabilidad son paralelas a las de la frecuencia

relativa. As´ı, mientras la frecuencia relativa es una medida emp´ırica de la ocurrencia de un

suceso, la probabilidad es una medida te´orica.

2. La idea com´un de probabilidad como “n´umero de casos favorables partido por el n´umero de

casos posibles” introducida por Laplace es un caso particular de la definici´on de Kolmogorov.

3. Cualquier aplicaci´on que verifique la definici´on anterior es una probabilidad, no teniendo porqu´e

ajustarse a un experimento aleatorio real. Lo que interesa, es que ante un determinado experimento se construya una probabilidad que lo describa lo mejor posible. Asignar una probabilidad

“buena” a un experimento aleatorio es el problema central de la Inferencia Estad´ıstica.

Ejemplos 1:

1. Una empresa acaba de implantar un nuevo proceso de producci´on. Durante un tiempo, se

realiza un control al 100% de la producci´on, que se agrupa en lotes de 50 piezas, y se ha

observado

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