Probabilidades

EJERCICIOS PROPUESTOS DE DISTRIBUCIONES MUESTRALES

1 Defina en qué consisten: a) la distribución en el muestreo de la media, b) la distribución en el muestreo de la proporción c) la distribución en el muestreo de las diferencias de medias d) la distribución en el muestreo de las diferencias de proporciones e) el error estándar para cada uno de los literales anteriores.

a). si a cada una de las muestras de igual tamaño “n”, que podemos seleccionar de una población “N”, le calculamos sus respectivos estimadores (Media Aritmética), la variable aleatoria así obtenida, la denominamos “Distribución en el muestra de la media”.

2 Cuántas muestras de tamaño 32 pueden extraerse de una población de tamaño 750?

3 Si a cada una de las muestras del problema anterior le calculamos su correspondiente proporción, cómo llamaría usted a la serie de proporciones obtenidas y qué propiedades tiene dicha distribución.

4 Suponga que una máquina produce tornillos, cuyos diámetros se distribuyen normalmente, con media igual a 0.5 pulgadas y desviación estándar de 0.01 pulgadas. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro medio esté comprendido entre 0.49 y 0.51 pulgadas, para una muestra de 4 tornillos?

μ=0,5

σ=0,01

x_1=0,49

x_2=0,51

P(0,49<x<0,51)=P(x<0,51)-P(x<0,49)

〖z 〗_1= (0,51-0,5)/0,01=0,01/0,01=1

〖z 〗_2= (0,49-0,5)/0,01=-0,01/0,01=-1

P(0,49<x<0,51)=P(Z_1<1)-P(Z_2<-1)

P(0,49<x<0,51)=0,8413-0,1587=0,6826 = 68,26%

5. 5 Se desea estudiar una muestra de 49 personas para saber la proporción de ellas que tienen más de 40 años; sabiendo que la proporción en la población es de 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra sea menor que 0.5, si se trata de una población muy grande?

N=49 P= 0,4 P(P ̅<0,5)

z = (P ̅-P)/√(PQ/N)=(0,5-0,4)/√(((0,4)(0,6))/49)=0,10/√(0,24/49)=

Z=0,10/√0,00489=0,10/0,07=1,43

Z=1,43→A(0,4236)

P=0,5+0,4236=0,9236

P(P<0,5)=92,36%

6. Se sabe por experiencia que el 65% de los estudiantes universitarios de cierta ciudad, prefieren cierta marca de crema dental. Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 100 universitarios de dicha ciudad encontremos que como máximo el 68% son usuarios de este tipo de crema.

P=65% N=100

P(P<68%)

Z= (P-P)/√(PQ/N)=(0,68-0,65)/√(((0,65)(0,35))/100)

Z=0,03/√(0,2275/100)=0,03/√0,002275=0,63

Z=0,63→A(0,2357)

P=0,5+0,2357

P=0,7357

P(P<68)=73,57%

7. Para elegir presidente de un sindicato, un candidato obtuvo el 40% de los votos. Determinar la probabilidad de que entre 200 de los electores elegidos aleatoriamente entre un total 800 afiliados, se hubiera obtenido la mayoría de los votos para dicho candidato. Asumamos que la mayoría es un porcentaje superior al 51%.

P=0,40 p=0,51 n=200

1/2n=1/(2(200))=1/400=0,0025

Formula corregida

Z=((0,50-0,0025)-0,40)/√((0,40)(0,60)/200)

Z=(0,4975-0,40)/√(0,24/200)=0,0975/√(0,24/200)

Z=0,0975/√0,0012=2,81

Z=2,81→A(0,4975)

P=0,5 – 0,4975= 0,0025

P=0,25%

8 Si se obtienen todas las posibles muestras de tamaño 25 en una distribución normal con media 20 y desviación estándar 4; dentro de que límites se encuentra el 90% central de las medias muestrales.

9 Con el fin de estimar la diferencia de proporciones entre dos poblaciones A y B, se tomaron muestras de ambas poblaciones de tamaños 70 y 90 respectivamente. Se pide calcular el error estándar de la diferencia de las proporciones muestrales, si se sabe que éstas últimas fueron 35% y 41% respectivamente.

σ=√((P_1 Q_1)/A_1 +(P_2 Q_2)/A_2 )

σ=√((0,35)(0,65)/70+(0,41)(0,59)/90)

σ=√(0,2275/70+0,2419/90)

σ=√(0,00325+0,00269)

σ=√0,00594

σ=0,077

E=0,077/(A_1+A_2 )=(0,,77)/(70+90)

E=0,077/160=0,0077

10 En una población normal con media igual a 72.0 y desviación estándar igual a 3.0, hallar la probabilidad que en una muestra de 90, la media sea menor 71.70.

μ=72 n=90

...