Probabilidad

INTRODUCCIÓN:

La teoría de la probabilidad es el fundamento para la inferencia estadística. Esta, nos permite llegar a conclusiones acerca de una población con base en la información que se obtiene a partir de una muestra representativa de la misma. Es una herramienta excelente ya que se requieren muchos menos datos, un menor gasto energético y un menor gasto económico para obtener resultados que expliquen el comportamiento de una variable de la población.

Por otro lado la estadística es una ciencia formal que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos de una muestra representativa. Es sumamente importante porque es el vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacionado con la investigación científica, y prácticamente con cualquier tipo de investigación, sus aplicaciones se utilizan en una amplia variedad de disciplinas, desde las ciencias naturales hasta el control de calidad. La utilidad de esta rama de la matemática es indiscutible.

Por último pero no menos importante, encontramos la informática, ciencia que estudia métodos, procesos y técnicas, con el fin de almacenar, procesar y transmitir información y datos en formato digital. Entre los beneficios que trajo la aparición de esta ciencia están: creación de nuevas especificaciones de trabajo, desarrollo e implementación de sistemas informáticos, sistematización de procesos complejos y facilitar la automatización y estudio de datos por medio de ordenadores.

El presente trabajo abordará los conceptos básicos de estas herramientas fundamentadas en principios matemáticos, que como ya fue ilustrado, son de gran importancia para la sociedad.

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Nociones básicas de probabilidad

Aleatorio: Dependiente de algún suceso fortuito.

Espacio muestral:

El espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio.

Probabilidad:

Si un evento puede ocurrir de N formas, las cuales se excluyen mutuamente y son igualmente probables, es decir, no hay un evento más favorecido a suceder que otro, y si m de estos eventos poseen una característica E, la probabilidad de ocurrencia de E es:

P(E)=m/N

Donde P(E) se lee como la probabilidad de E, m es el número de casos favorables y N el número de casos probables.

Propiedades elementales:

Dado algún proceso (o experimento) con n resultados mutuamente excluyentes (llamados eventos), E1, E2,…, En. La probabilidad de cualquier evento Ei es un número no negativo, es decir:

P(Ei)≥0

Nota: Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir de forma simultánea.

Propiedad de la exhaustividad: La suma de las probabilidades de todos los resultados mutuamente excluyentes es igual a 1:

P(E1)+P(E2)+⋯+P(En)=1=P(S)

Donde S es el espacio muestral.

Esto quiere decir que el observador de un proceso probabilístico debe contemplar todos los eventos posibles, y cuando se toman todos, su probabilidad total es igual a 1.

Considere dos eventos mutuamente excluyentes, E1 y E2. La probabilidad de lo ocurrencia de E1 o E2, que es lo mismo que la probabilidad de E1UE2 es igual a la suma de sus probabilidades individuales.

Teoremas de probabilidad:

Probabilidad de eventos complementarios: Sean A y A’ dos sucesos mutuamente excluyentes, si estos son complementarios, entonces:

A+A^'=S

Donde S es el espacio muestral.

Luego

P(A)+P(A^')=P(S)

Según la propiedad de la exhaustividad P(S)=1, por lo tanto:

P(A)+P(A^')=1 y P(A)=1-P(A')

Probabilidad del suceso imposible: Sea S el espacio muestral y Φ un suceso que no se encuentra en el conjunto S. La probabilidad de Φ será:

P(Φ)=0

Por ejemplo, si queremos conocer cuál es la probabilidad de sacar 8 en un dado de 6 caras, sabemos que 8 es un suceso imposible y por lo tanto, su probabilidad es 0.

Regla de la multiplicación: La probabilidad condicional de A dado B es igual a la probabilidad de A∩B dividida entre la probabilidad de B, siempre que la probabilidad de B sea diferente de cero:

P(A⁄B)=(P(A∩B))/(P(B)) ,P(B)≠0

ó

P(A∩B)=P(B)P(A/B), P(B)≠0

Regla general de la adición: Dados dos eventos A y B, la probabilidad de que ocurra el evento A, el evento B o ambos es igual a la probabilidad del evento A más la probabilidad del evento B, menos la probabilidad de que ocurran simultáneamente:

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

Eventos Independientes: Sean dos sucesos A y B, estos son independientes si al ocurrir uno de estos dos eventos la probabilidad del otro no se ve afectada. Es decir, si el evento B ya ocurrió la probabilidad condicional de A dado B es igual a la probabilidad de A:

P(A⁄B)=P(A)

Por consiguiente, si sustituimos la ecuación anterior en la regla de la multiplicación nos queda: P(A∪B)=P(A)+P(B),P(A)≠0 P(B)≠0

En conclusión, para que dos eventos sean independientes, todas estas afirmaciones deben ser ciertas:

P(A⁄B)=P(A),P(B⁄A)=P(B),P(A∪B)=P(A)+P(B),P(A)≠0 P(B)≠0

Nociones elementales de estadística descriptiva:

Estadística descriptiva: Describe, analiza y representa un grupo de datos utilizando métodos numéricos y gráficos que resumen y presentan la información contenida en ellos.

Población: Conjunto de individuos o elementos que cumplen ciertas propiedades comunes.

Muestra: Subconjunto representativo y al azar de una población que se quiere estudiar.

Variables estadísticas: Las variables estadísticas son los datos que proporcionan los individuos de la población o muestra observada. Pueden clasificarse de varias formas:

Organización de datos: Existen muchas formas de organizar los datos, algunas de ellas son diagramas de tallo y hojas, tablas de frecuencias, intervalos de clase etc. Véase un ejemplo de una tabla de frecuencias donde Xi es una variable y Fi su frecuencia absoluta:

Xi 61 64 67 70 73

Fi 5 18 42 27 8

Distribuciones de frecuencia:

Frecuencia absoluta: Cantidad de veces que se repite un valor de la variable.

Frecuencia relativa: Cantidad de veces que se repite un valor de la variable con

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