RESUMEN SOCIOEPISTEMOLOGÍA Y DESCARTES

LIBRO SEGUNDO

De la naturaleza de las líneas curvas

Cuáles son las líneas curvas que se pueden admitir en geometría

Aunque los antiguos geómetras distinguieron tres tipos de problemas, en función de la construcción usada para su resolución:

• P. Planos: pueden ser construidos sin trazar más que líneas rectas y círculos.
• P. Sólidos: son construidos si se emplea por lo menos alguna sección cónica.
• P. Lineales: son construidos empleando una línea compuesta.

Los problemas planos y los problemas sólidos fueron considerados construcciones puramente geométricas. En cambio, los problemas lineales incluían curvas que sólo se podían construir con algún ingenio mecánico, fueron excluidas de la Geometría.

A Descartes le extraña que, a pesar de ello, no distinguieron diversos grados entre las líneas más compuestas.

Además, comprende porqué ellos, decidieron llamarles mecánicas más bien que geométricas

Posibles causas:

Para su construcción se requiere una máquina, sin embargo, no puede ser ya que habría que incluir a los círculos y las rectas. [se requiere un compás y una regla.]

Inexactitud de la construcción: Tampoco, porque los instrumentos que sirven para trazarlas por ser más complicados que la regla y el compás, sean menos exactos.

No es que ellos no hayan querido aumentar el número de condiciones [se hayan contentado solo con eso.]

Quizás lo que impidió a los antiguos geómetras admitirlas, es que las consideraron por casualidad la espiral, la cuadratriz y otras semejantes como mecánicas.

En palabras de Descartes, considera por geométrico lo que es preciso y exacto, y por mecánico lo que no lo es. Asimismo, considera a la geometría como una ciencia que enseña generalmente a conocer las medidas de todos los cuerpos, por lo tanto no deben excluirse las líneas (curvas) por compuestas que sean.

En sentido, qué condiciones impuso Descartes a las curvas que admitió en su Geometría

Mientras pueda imaginárselas descritas por un movimiento continuo, o por varios que suceden, y en que los últimos están enteramente rígidos por los que les preceden; pues, por este medio se puede siempre tener un conocimiento exacto de su medida. (La Geometría, 1637, p.74)

Vemos por lo anterior, que Descartes no está tan enfocado en la continuidad de las curvas, pero sí de su medida, como un mecanismo que permite obtener la expresión analítica.

Es importante mencionar que, aunque Descartes es considerado el padre de lo que en la actualidad conocemos como geometría analítica, no hay, en La Geometría, gráfica de ecuación alguna.

Las curvas que ahí aparecen eran construidas por acciones geométricas, la mayor parte de las cuales eran representadas mediante instrumentos mecánicos. Este es el proceso que se observa:

• Se dibuja la curva
• Se introduce el sistema de coordenadas
• Se analiza el proceso de construcción de la curva y
• Se obtiene una ecuación que representara dicha curva.

En consecuencia, se puede afirmar que, las ecuaciones no creaban las curvas; éstas generaban ecuaciones.

Ahora bien, las ecuaciones fueron usadas por Descartes, para realizar una clasificación de las curvas.

En la época de Descartes, se produjo un cambio de rumbo desde la orientación geométrica clásica griega vigente en el Renacimiento hacia una visión filosófica romana mucho más pragmática.

Durante el siglo XVII, la geometría no estará enfocada en construcciones estáticas ni de pruebas axiomáticas, dado que lo que impera en la época es una clase de Geometría que tratara sobre fortificaciones, máquinas de asedio, canales, sistemas de riego o mecanismos elevadores. En La Geometría se habla de construcciones producto de movimientos mecánicos y su posible representación mediante ecuaciones algebraicas. En la literatura se reportan muchos problemas clásicos transformados en problemas de locus (trayectorias producidas por movimientos contínuos) gracias al uso de una gran variedad de movimientos y mecanismos que iban más allá de las construcciones clásicas con regla y compás.

Descartes crea una Geometría que incluye todas esas curvas construidas mediante mecanismos articulados, es decir, instrumentos hechos con barras articuladas. Y aunque no lo haya demostrado, supuso que esta clase de curvas constituía la de las curvas algebraicas.

Mecanismos articulados que aparece en La Geometría:

Mesolabio

Tras leer a Pappus, sobre el rechazo de los antiguos geómetras griegos a curvas más complejas que las cónicas cuando se encontraron con curvas como la espiral, la cuadratriz, la concoide y la cisoide.

[pic 1]

Mesolabio de Descartes. (Fuente: La Geometría, p. 76)

El mecanismo consta de dos barras que se articulan en un punto. Uno de ellos está fijo, pero todos los demás son móviles manteniéndose únicamente perpendiculares las barras transversales.

[pic 2]

Construcción Fuente Cinderella

Lo que se puede apreciar es que el mesolabio tiene una doble finalidad:

• Los triángulos ABC, ACD, ADE, AEF, AFG y AGH son semejantes por lo que tenemos:

[pic 3]

Por consiguiente, este aparato permite calcular raíces cúbicas por lo que se puede usar para la duplicación del cubo y la trisección del ángulo.

• El punto B describe una circunferencia, pero los puntos D, F y H describen curvas cada vez más complicadas.

Las ecuaciones pueden ser obtenidas de la manera siguiente:

1. ,  , , , [pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Entonces,   de donde [pic 8][pic 9]

También ; por lo tanto, la ecuación  es [pic 10][pic 11][pic 12]

1. ,  , , [pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

Entonces,   de donde [pic 17][pic 18]

También , de donde  [pic 19][pic 20]

Pero , de donde  o bien .[pic 21][pic 22][pic 23]

También , así obtenemos como la ecuación de AF[pic 24]

 o [pic 25][pic 26]

1. De la misma manera podemos mostrar la ecuación de HA, [pic 27]

Hiperbológrafo

El segundo instrumento descrito por el propio Descartes es el hiperbológrafo.

[pic 28]

Hiperbológrafo de Descartes.  (Fuente: La Geometría, p.79)

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