Resorte Helicoidal

Péndulo Simple

Fase teórica

OBJETIVOS

Estudiar experimentalmente la dependencia del periodo de oscilación de un péndulo simple de algunas variables, Determinación de la aceleración de gravedad (g).

Fundamentos teoricos

Péndulo Simple

Un péndulo simple consiste de una cuerda inextensible de longitud (L hasta el centro de la masa) suspendida verticalmente desde un punto fijo (o), a la que se le ha colgado una masa (m), permitiéndole oscilar libremente sobre un plano vertical del espacio.

Esta masa se desplaza desde su posición de equilibrio hasta una altura determinada, en la que la cuerda estirada forma un ángulo θ con la vertical (como se observa en la figura) y se deja caer, impulsada por su propio peso, para desarrollar una velocidad máxima donde antes se encontraba en reposo. Durante el movimiento oscilatorio, la masa m, idealizada como una partícula, describe un semicirculo en su trayectoria.

Basicamente se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.

El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos

• el peso mg

• La tensión T del hilo

Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg•senθ en la dirección tangencial y mg•cosθ en la dirección radial.

• Ecuación del movimiento en la dirección radial

La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular.

La segunda ley de Newton se escribe

man=T-mg•cosθ

Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular θ podemos determinar la tensión T del hilo.

La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio, T=mg+mv2/l

Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosθ0

• Principio de conservación de la energía

En la posición θ=θ0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio.

Comparemos dos posiciones del péndulo:

En la posición extrema θ=θ0, la energía es solamente potencial.

E=mg(l-l•cosθ0)

En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial

La energía se conserva

v2=2gl(cosθ-cosθ0)

La tensión de la cuerda es

T=mg(3cosθ-2cosθ0)

La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0 (la velocidad es nula).

• Ecuación del movimiento en la dirección tangencial

La aceleración de la partícula es at=dv/dt.

La segunda ley de Newton se escribe

mat=-mg•senθ

La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular a es at=a •l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial

(1)

Medida de la aceleración de la gravedad

Cuando el ángulo θ es pequeño entonces, senθ  θ, el péndulo describe oscilaciones armónicas cuya ecuación es

θ =θ0•sen(w t+j )

de frecuencia angular w2=g/l, o de periodo

La ley de la gravitación de Newton describe la fuerza de

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