Sobre didáctica de las Matemáticas

Desarrollo de contenidos

Tema 1.2. Epistemología genética

Competencia del Módulo

Sub Tema 1.2.1. Lenguajes, códigos, discursos en códigos diferentes. Código del lenguaje de Conjuntos

Aprendizaje esperado: Identifica el código de lenguaje matemático para reconocer los principios estructurales (axiomas, postulados, teoremas) y relacionarlos con teorías de funciones y estructuras algebraicas.

Introducción

Es falso pretender que las Matemáticas son sólo trato numérico, sólo cálculos o sólo medidas, dimensiones, trazos geométricos y resultados cuantitativos. Es muy importante que como docentes de Matemáticas de los primeros niveles de educación básica Secundaria, rompamos con ideas o vicios ideológicos que limitan la comprensión a profundidad de gran cantidad de conceptos e ideas de la matemática por considerarla solo enfocada a resultados y operaciones numéricas.

Señalamos esto debido a que estamos entrando a los fundamentos de las matemáticas, los cuales se componen de argumentos, de ideas, de sólidos principios sobre los que se levantan más ideas aún, y que se denominan teoremas.

Teoremas y estructuras matemáticas se levantan sobre ideas muy básicas con las cuales se forman argumentos, tales son los axiomas y los postulados y este aspecto tiene una importante sobrecarga de filosofía que enlaza con las ideas de la filosofía de la pedagogía es decir, la Epistemología, y muy específicamente de la Epistemología genética de Piaget, la cual descubre en las funciones mentales activas en las ideas y las teorías estructurales matemáticas a todo un esquema filosófico del aprendizaje.

La disciplina del cómo conocemos, cómo aprendemos, es la misma que produce metodologías para lograr el aprendizaje. Sólo un requisito hace falta para comprender las estructuras algebraicas y las ideas epistemológicas de Piaget: Comprender el lenguaje matemático; y eso sólo será posible conociendo el lenguaje de los Conjuntos, que es el mismo que necesitamos para hablar en Matemático.  

Tipo Chunk – Teoría Matemática

Contenido

Muchísimas personas piensan que las Matemáticas son muy difíciles y que seguro los matemáticos tienen más inteligencia que la mayoría de la gente, sin embargo quizá todo eso no sea tan cierto, y se puede demostrar; nos encontramos en Internet con una frase muy clara que apareció en algún lugar y que lamentablemente no tenemos informe de su autor, pero dice:

"si alguna vez tuviste que garantizar la veracidad de un resultado o procedimiento para alguien, entonces para esa persona fuiste matemático"

O sea que según ésta frase, al menos algún abogado, algún filósofo, algún médico, algún profesor de primaria o hasta un mecánico de autos o un panadero, al momento de hacer accesible mediante una demostración la verdad de algo, sea técnica o no, o mediante la misma acción de demostración refutar una afirmación sobre lo que ocurre en alguna circunstancia, tuvieron en ese momento mucho de matemáticos.

Nada más cierto, pues de eso se ocupan los matemáticos, de la búsqueda del mejor argumento para demostrar la veracidad de alguna cualquiera de tantas proposiciones o afirmaciones matemáticas nuevas, o viejas, o viejísimas, durante esos intentos de muchos creativos en matemáticas de generalizar algo tanto como sea posible.

Claro, es cierto que recurrentemente habrá que obtener resultados numéricos y hacer comprobaciones numéricas, pero lo principal en Matemáticas es trabajar en la argumentación para verificar ideas conjeturales o refutarlas, pues reiteramos que de lo que se trata es de lograr enunciados o expresiones (cadenas de caracteres) correctos y lo más generales que sea posible.

De ahí en más, hay otros aspectos muy terrenales de la ocupación de los matemáticos que implican lo mismo, pero en función de una intensión particularmente productiva, como crear modelos financieros y econométricos, solucionar modelos físico-matemáticos en ciencias espaciales, hacer análisis de investigación de operaciones y optimización en muchas organizaciones o industrias, desarrollar modelos probabilísticos en compañías de seguros etc. etc.

Cuando sobre una idea que involucra una expresión matemática existe una conjetura que la generaliza, es decir, que extiende su idea o planteamiento o resultados a “todos los casos”, es necesario buscar la prueba de que dicha conjetura es cierta, o de lo contrario descartar su posibilidad de certeza. Cuando de una conjetura se demuestra su certeza, entonces y solo entonces, contamos con un teorema, porque eso implica, que se cumple para todos los casos para todos los casos.

Tenemos, por cierto, al respecto, diversos ejemplos. En el Siglo XVII un abogado francés llamado Pierre Fermat, también se dedicó como entusiasta a las Matemáticas, y “no siendo profesional” legó a la humanidad varias conjeturas potentísimas, cuya importancia estriba en que la idea original fomentaría a su vez en el futuro nuevas ideas o nuevas conjeturas, que hasta hoy hace avanzar “horrores” a las matemáticas, incluso a pesar de que se ha comprobado que de alguna de esas conjeturas su proposición sea totalmente falsa.

Por ejemplo, la expresión conocida como “número de Fermat”, cuya idea o proposición se manifiesta así:

 [pic 1]

Es decir, un número de Fermat  (se lee: F sub-índice n, o, F sub n) se obtiene con una potencia base 2 elevada a un exponente, que a su vez, es una potencia base 2, elevado a exponente n. [pic 2]

El subíndice n de Fn en la expresión, denota el número del “número de Fermat”, y es el mismo que el exponente de la potencia del exponente de la base 2. En la expresión así establecida, la conjetura mencionada por su autor afirma que sólo produce números primos (es decir extiende a todos los casos).

Una audacia de Fermat decirlo así, porque cuando se es matemático o se es docente de matemáticas se debe saber que los números primos son rebeldes naturalmente, y hay que tenerles muchísimo respeto porque son escurridizos e impredecibles.

Pues bien, pasaron bastantes décadas existiendo así la afirmación pero sin verificarse “para todos” los números naturales, de hecho el propio Fermat comprobó su conjetura hasta el quinto número comenzando por cero, obteniendo en efecto el siguiente conjunto de resultados:

*Recordemos que los números primos son aquellos divisibles por sí mismos y por la unidad. Por lo tanto, sería imposible para un número primo del número de cifras que sea, encontrar que es posible factorizarlo en dos factores.

Los resultados de los primeros 5 números de Fermat:

=  =  =  + 1 = 2 + 1 = 3[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

=  =  =  + 1 = 4 + 1 = 5[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

=  =  =  + 1 = 16 + 1 =17[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

=  =  =  + 1 = 256 + 1 =257[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

=  =  =  + 1 = 65,536 + 1 =65,537[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

Así al parecer, dada ésta serie (exageradamente corta) de resultados numéricos, Fermat se sentiría muy seguro de su conjetura. Por otra parte, es un hecho que en su momento Fermat no contaría con medios para el cálculo numérico de cifras mayores a cuatro mil millones para verificar si un número así obtenido como resultado de su expresión, sería también un número primo como los primeros 5 de su serie. Es muy posible que por eso se haya detenido y se confiara muchísimo con los primeros 5 resultados para declarar la conjetura, definitivamente una temeridad.

Y bien, pues en el siglo XVIII bastantes años después de la muerte de Fermat (ocurrida en 1665) en 1732, el matemático Leonard Euler encontró que el sexto número de Fermat:

=  =  =  + 1 = 4,294,967,296 + 1[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

 =4,294,967,297

Presentaría la factorización:

4,294,967,297 = (641) (6,700,417)

Lo cual lo invalida definitivamente como número primo (lástima).

Euler había “cachado” a Fermat en una conjetura falsa, por tanto la afirmación, es decir la idea adelantada:

 sólo produce número primos.[pic 27]

No podrá validarse como un teorema, sin embargo, eso no le restaría para nada valor a todo lo que ha sido posible originar con ella en cuanto a nuevas ideas matemáticas, por y para el número de Fermat, de hecho funciona y es utilísimo en cualquier momento como una herramienta para elaborar test de primalidad (prueba de números de gran cantidad de cifras para saber si son un número primo).

Para lograr descartar la veracidad de la afirmación de Pierre Fermat sobre los números de Fermat, Euler sólo tuvo que enfrentarse al cálculo del sexto número de la secuencia a partir del cero, con el cual arrojaría un número muy grande y luego obtener una factorización de éste, es decir, fue capaz de obtener el sexto número de Fermat como producto de dos números, al lograrlo con eso bastaría para la prueba.

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