Solución de ecuaciones diferenciales: Problemas de valor inicial y problemas de valor en la frontera

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Tabla de contenido

Solución de Ecuaciones Diferenciales: Problemas de Valor Inicial y Problemas de Valor en la Frontera        2

Introducción        2

6.1 Fundamentos        2

6.2 Métodos de un paso        4

Método de Euler        4

Ejemplo        5

Métodos de Euler Mejorado y Modificado        6

Métodos de Runge–Kutta        6

Ejemplo        7

6.3 Métodos rígidos y de pasos múltiples        7

Ejemplo        7

6.4 Métodos multipaso        8

Ejemplo        9

6.5 Métodos de tamaño de paso variable        10

6.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias        12

Ejemplo        12

6.7 Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n        13

Ejemplo problema de cauchy        14

6.8 Métodos generales para problemas con valores en la frontera        14

Método del disparo        14

Métodos de diferencias finitas        15

Ejemplo        15

Métodos espectrales        15

6.9 Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales        16

6.10 Aplicaciones        16

Ejemplo        17

Ejemplo:        17

Ejemplo: Sistema de reactores tipo tanque con agitación        17

Solución de Ecuaciones Diferenciales: Problemas de Valor Inicial y Problemas de Valor en la Frontera

Introducción

El estudio de las ecuaciones diferenciales constituye uno de los pilares fundamentales dentro de la ingeniería y las ciencias aplicadas, ya que permiten describir de manera cuantitativa los fenómenos dinámicos que ocurren en sistemas reales. Modelan procesos donde intervienen cambios en el tiempo o en el espacio, tales como reacciones químicas, transferencia de calor, dinámica de fluidos, vibraciones mecánicas, control de sistemas, crecimiento poblacional y propagación de ondas, entre otros.

La solución analítica exacta de una ecuación diferencial es, en muchos casos, difícil o incluso imposible de obtener debido a la complejidad de los modelos. Por ello, los métodos numéricos se han convertido en herramientas indispensables que permiten aproximar soluciones mediante algoritmos que discretizan el dominio y generan valores cercanos al comportamiento real de la función buscada. Este trabajo desarrolla de manera amplia y detallada los fundamentos, métodos y aplicaciones de la solución numérica de ecuaciones diferenciales, abarcando tanto los problemas de valor inicial (PVI) como los de valor en la frontera (PVF), así como ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y parciales (EDP).

6.1 Fundamentos

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

• Ecuaciones diferenciales ordinarias: Aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
• Ecuaciones en derivadas parciales: Aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemáticas con incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

𝒀’ = 𝟐𝒙𝒚 + 𝟏 

Es una ecuación diferencial ordinaria, donde representa una función no especificada de la variable independiente “𝑥”, es decir,  , donde es la derivada de “𝑦” con respecto a “𝑥”. [pic 3]

La expresión   es una ecuación en derivadas parciales [pic 4]

A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (Por ejemplo, la transformada de Laplace).

La teoría de las ecuaciones diferenciales constituye uno de los pilares fundamentales en el análisis matemático aplicado, ya que permite modelar una enorme diversidad de fenómenos físicos, químicos, biológicos e ingenieriles. Una ecuación diferencial describe la relación entre una función desconocida y sus derivadas, permitiendo capturar la dinámica de sistemas que evolucionan en el tiempo o en una variable espacial.

Un problema de valor inicial (PVI) consiste en encontrar una función que satisfaga una ecuación diferencial ordinaria (EDO) y además cumpla condiciones iniciales especificadas en un punto. En este tipo de problemas, la solución parte de un estado inicial único y se proyecta hacia adelante o hacia atrás en la variable independiente, generalmente el tiempo. Esto refleja la naturaleza evolutiva de muchos sistemas físicos, donde el estado presente determina su comportamiento futuro. Ell Problema de Valor Inicial (PVI) se formula especificando el estado del sistema en un punto inicial. Tiene la forma general:

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Este tipo de problema se resuelve integrando la ecuación a partir del punto inicial y avanzando de manera progresiva en el dominio. La solución depende únicamente del valor inicial y de la evolución de la ecuación.

Por su parte, un problema de valor en la frontera (PVF) se caracteriza porque la solución se especifica mediante condiciones impuestas en diferentes puntos del dominio, usualmente al inicio y al final del intervalo. Este tipo de problemas es común en sistemas que no dependen exclusivamente del tiempo, sino también de condiciones espaciales, como flujos de calor, estructuras mecánicas o distribución de concentraciones.

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El tratamiento matemático de EDO requiere establecer propiedades como existencia, unicidad y estabilidad de la solución. El teorema de Picard–Lindelöf garantiza la existencia y unicidad cuando la función que define la derivada es continua y satisface una condición de Lipschitz. Estas bases teóricas permiten justificar el uso de métodos numéricos cuando la solución analítica es difícil o imposible de obtener.

Los métodos numéricos requieren cumplir tres propiedades esenciales:

• Consistencia. La aproximación numérica debe replicar la ecuación diferencial cuando el paso tiende a cero.
• Estabilidad. El método debe controlar el crecimiento del error, evitando que se amplifique en cada paso.
• Convergencia. La solución numérica debe aproximarse a la solución exacta a medida que el paso se vuelve más pequeño.

Otras consideraciones como el orden del método, la precisión, la rigidez y la eficiencia computacional determinan la elección del algoritmo más adecuado para cada tipo de problema.

6.2 Métodos de un paso

Los métodos de un paso son técnicas numéricas utilizadas para aproximar la solución de EDO utilizando exclusivamente la información disponible en el punto inmediatamente anterior. La idea central es avanzar paso a paso, proyectando la solución a partir del valor más reciente sin requerir datos históricos adicionales.

Método de Euler

Es el método más simple y constituye la base para métodos más sofisticados. Se fundamenta en aproximar la función mediante una recta tangente en cada intervalo. Su simplicidad lo convierte en una herramienta pedagógica, aunque su precisión puede ser limitada si el tamaño de paso es grande.

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PVI 𝒚(𝒙𝟎) = 𝒚𝟎 

      𝒚(𝒙𝒊) = ?

Consiste en multiplicar los intervalos que va de “[pic 10]” a “[pic 11]” en “n” sub-intervalos de ancho h; ósea:

[pic 12], De manera que se obtiene un conjunto discreto de [pic 13] puntos:

[pic 14] del intervalo de interés [pic 15].  

Para cualquiera de estos puntos se cumple que:

                                                     [pic 16] 

La condición inicial [pic 17], representa el punto [pic 18], por donde pasa la curva.  

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