Subliminal

Algebra de Conjuntos

Operaciones Fundamentales

“A se dice subconjunto de B,

A B, si todo elemento de A es tambi´en un elemento de B”. La relaci´on de

contenci´on tiene las siguientes propiedades para conjuntos A, B y C.

(1) A A.

(2) Si A B y B C entonces A C.

(3) A B y B A si y s´olo si A = B.

(1), (2), (3) se expresan brevemente diciendo que la propiedad de contenci´on

es reflexiva, transitiva y antisim´etrica, respectivamente.

En los Ejemplos 2.3 y 2.13 se mostr´o la existencia de dos ´utiles conjuntos;

ahora hacemos una definici´on formal de ellos.

Definici´on 3.1 Si A y B son conjuntos, la uni´on de A y B, es el conjunto

A ^ B = {x : (x 5 A) b (x 5 B)} .

La intersecci´on de A y B es el conjunto

A _ B = {x : (x 5 A) a (x 5 B)} .

Acorde a la definici´on anterior, una condici´on necesaria y suficiente para

que A _ B =6 > es que A y B tengan elementos en com´un.

3. Algebra de Conjuntos ´

Definici´on 3.2 Diremos que los conjuntos A y B son ajenos si A _ B = >.

Con la terminolog´ıa proporcionada por las definiciones anteriores podemos

formular el Axioma de Fundaci´on como sigue: “En cada conjunto no vac´ıo A

existe un elemento u 5 A que es ajeno a A, es decir, u _ A = >”.

El siguiente teorema nos muestra c´omo se comportan la uni´on ^ y la intersecci´on _ con respecto de la contenci´on.

Teorema 3. 3 Para cualesquiera conjuntos A, B, C, D tenemos:

(a) A _ B A A ^ B.

(b) Si A C y B D entonces A _ B C _ D y A ^ B C ^ D.

(c) A C y B C si y s´olo si A ^ B C.

Demostracion: ´

Solamente probaremos (a) dejando como ejercicio para el lector las partes (b)

y (c). Si x 5 A _ B entonces x 5 A y x 5 B, as´ı en particular x 5 A, es decir

A _ B A. Por otra parte, para cualquier x 5 A se tiene que x 5 A ^ B por

definici´on de A ^ B, es decir, A A ^ B.

El siguiente teorema puede demostrarse sin dificultad.

Teorema 3. 4 Las operaciones _ y ^ son:

(a) Reflexivas: para todo A,

A _ A = A = A ^ A.

(b) Asociativas:

A _ (B _ C) = (A _ B) _ C y A ^ (B ^ C) = (A ^ B) ^ C.

(c) Conmutativas:

A _ B = B _ A y A ^ B = B ^ A.

M´as a´un, _ distribuye sobre ^ y ^ distribuye sobre _:

A _ (B ^ C) = (A _ B) ^ (A _ C)

y

A ^ (B _ C) = (A ^ B) _ (A ^ C).

En virtud de la asociatividad, podemos designar a A^(B ^C) simplemente

por A^B^C. Similarmente, una uni´on y una intersecci´on de cuatro conjuntos,

digamos (A ^ B) ^ (C ^ D) y (A _ B) _ (C _ D), pueden ser escritas como

A ^ B ^ C ^ D y A _ B _ C _ D puesto que la distribuci´on de par´entesis

es irrelevante, y por la conmutatividad el orden de los t´erminos tambi´en es

irrelevante. Por inducci´on, la misma observaci´on es aplicable a la uni´on y la

intersecci´on de cualquier n´umero finito de conjuntos. La uni´on y la intersecci´on

de n conjuntos son escritas como

[n

k=1

Ak,

\n

k=1

Ak.

Ahora daremos una caracterizaci´on de la propiedad A B en t´erminos de

la uni´on y la intersecci´on.

Teorema 3. 5 Los siguientes enunciados son equivalentes:

(a) A B.

(b) A = A _ B.

(c) B = A ^ B.

Demostracion: ´

(a) , (b). Supongamos que A B. Por 3.3(a) sabemos que A _ B A.

Ahora, si x 5 A entonces x 5 A y x 5 B (ya que A B); o sea, x 5 A _ B.

Por lo tanto, A A _ B. As´ı concluimos que

...