TEORIA DE C ALCULO I. Números complejos

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ECNICAS INDUSTRIALES

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TEORIA DE C ALCULO I

Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galv«an y Jos«e Manuel Rodr«ıguez Garc«ıa

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Polit«ecnica Superior Departamento de Matem«aticas

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1. Introducci«on a los n«umeros complejos

Se define el conjunto de los n«umeros complejos como 

C = {x + iy : x, y ∈ R} , √

donde i = −1. Si z = x + iy, diremos que x es la parte real de z y que y es la parte imaginaria de z, y lo denotaremos por Re z = x e Im z = y. Conviene destacar que tanto la parte real como la parte imaginaria son n«umeros reales, y que los n«umeros reales son tambi«en n«umeros complejos (de hecho, son los n«umeros complejos con parte imaginaria 0). Los n«umeros complejos con parte real 0 se denominan imaginarios puros. El «unico n«umero real que es tambi«en imaginario puro es el 0.

Si identificamos el n«umero complejo x + iy con el par ordenado (x, y), podemos representar el conjunto de los n«umeros complejos como el plano R2 . En adelante llamaremos eje real al eje de abscisas (el eje horizontal) y eje imaginario al eje de ordenadas (el eje vertical). A partir de esta identificaci«on podemos hablar del plano complejo y de sus coordenadas polares r = |z|, θ = arg z, el m«odulo y el argumento, relacionadas con z = x + iy 

= 0 de la siguiente forma

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r = x 2 + y, tan θ = y,

x x = r cos θ, y = r sen θ.

Como es bien conocido, el argumento θ no est«a definido de manera unica, ya que θ +2π, θ +4π y en 

«general θ +2kπ, con k cualquier n«umero entero, representan el mismo «angulo que θ. Por tanto, a la hora de hablar de argumento hay que elegir uno de ellos; las elecciones m«as habituales son θ ∈ [0, 2π) «o θ ∈ (−π, π]. Si z = x + iy es un n«umero complejo, denotaremos habitualmente su m«odulo por r = |z| y su argumento por θ = arg z. Est«a claro que no existe una determinaci«on continua de la funci«on arg z en C\{0}. Sin embargo, si S es una semirrecta cualquiera en el plano complejo que comienza en el origen de coordenadas, entonces existe una determinaci«on continua de la funci«on arg z en C\ S.

Definici«on 1.1. Se definen la suma y el producto de los n«umeros complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 respectivamente como 

z1 + z2 = x1 + iy1 + x2 + iy2 =(x1 + x2)+ i(y1 + y2) ,

z1 · z2 =(x1 + iy1)(x2 + iy2)= x1x2 + ix1y2 + ix2y1 + i2 y1y2 =(x1x2 − y1y2)+ i(x1y2 + x2y1) .

La interpretaci«on geom«etrica de la suma de n«umeros complejos es sencilla: si identificamos un n«umero complejo z con el vector de R2 que tiene como origen el origen de coordenadas y por extremo el punto z, el n«umero complejo z1 + z2 es el extremo del vector suma de z1 y z2.

La interpretaci«on geom«etrica del producto de n«umeros complejos es un poco m«as complicada: z1z2 es el n«umero complejo cuyo m«odulo es el producto de los m«odulos de z1 y z2, y cuyo argumento es la suma de los argumentos de z1 y z2.

Definici«on 1.2. Se define el conjugado z del n«umero complejo z = x + iy como z = x − iy. 

Desde el punto de vista geom«etrico, z es el punto sim«etrico de z con respecto al eje real. Es evidente que |z|2 = x2 + y2 =(x + iy)(x − iy)= zz. Por tanto, el inverso de z on es 

= 0 con respecto a la multiplicaci«

−1 1 zz

z == = .

z zz |z|2

Es f«acil probar que el conjunto de los n«umeros complejos con las operaciones de suma y producto tiene estructura de cuerpo.

Pueden deducirse las siguientes propiedades:

|z1 + z2|≤|z1| + |z2| ,  |z1|−|z2|  ≤|z1 − z2| , |Re z|≤|z| , |Im z|≤|z| , z + zz − z

Re z = , Im z = ,

22i z1

z1 + z2 = z1 + z2 ,z1z2 = z1z2 , (zn)= z n , �z1 � = , z2 z2 |z| = |z| , arg z = − arg z, z1 |z1|√

n

v|z| .

|z1z2| = |z1||z2| ,      = , |z n| = |z|n ,  z  = n

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