TRABAJO PRÁCTICO FINAL MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA II

INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN  DOCENTE N° 41

TRABAJO PRÁCTICO FINAL

CARRERA:  PROFESORADO DE MATEMÁTICA

ESPACIO: MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA II

CURSOS: 2° 1° / 2° 2°

PROFESORAS: Barrios Vanesa    Quiencke Natalia

ALUMNAS: Cabeza Julieta 

                 Maciel Mónica

                 Méndez Camila

                 Vallejos Camila

AÑO: 2016

FUNCIÓN EXPONENCIAL

1. Anticipen diferentes estrategias de resolución por parte de los alumnos.

Estrategias para el problema 9

• Una de las estrategias que podría aparecer es analizar la función a partir del gráfico. Por los gráficos trabajados en los problemas anteriores sabemos que la gráfica de una función exponencial es una curva continua que puede ser creciente o decreciente. La curva puede ser creciente si a ˃1 y decreciente si a˂1. En este caso a = 2 por lo que la curva será creciente.

F(x)= 2ˆx -4

[pic 1]

1. Como han estudiado que la función exponencial es continua, es decir, no se corta, su dominio serán todos los reales. De acuerdo a las funciones estudiadas anteriormente encontrarán la raíz, donde la función corta al eje x. En este caso el valor donde la función es nula es en x=2 aproximadamente, de acuerdo al gráfico.

1. Podrán verificar que sí existe, mirando el gráfico, pueden ver que la función es continua y que su dominio son todos los reales, siempre a un valor de x le corresponderá un valor de y. Pero lo que no podrán ver observando el gráfico, es el valor exacto de F(x).

1. Podrían observar el gráfico moviéndose hacia la izquierda hasta cualquier valor negativo de x y de esta manera darse cuenta que el “piso” de la función es -4, la curva da apariencia de no sobrepasar el y= (-4) por lo que f(x) puede ser negativa sólo hasta ese valor..  Un valor en el cual F(x) es negativa es x=0, lugar por donde la función corta al eje en y= (-3) aproximadamente, según se puede ver en el gráfico.

1. Sí, se puede hallar algún valor del dominio de la función para que F(x)= -3,5 y para que F(x)= -3,9375, pues la imagen de esta función va desde (-4, +∞). se puede seguir el camino de la función y ver que en ningún punto se corta y que el “piso” es (-4), gráficamente no podrán afirmar que F(x)= (-4) no está incluído, porque al ver la curva parece que tocara el “piso”. Pero sí los números superiores a este, como es el caso del (-3,5) y el (-3,9375). Utilizando el gráfico como estrategia se puede conjeturar que existe un x para cada f(x) de esta función, pero no se puede ver con exactitud cuál es el que le corresponde.

1. F(x)=-5 no es imagen de esta función porque se puede ver que la gráfica de la función no sobrepasa y= -4.

[pic 2]

Utilizando el gráfico nuevamente podrían observar que el valor de a es menor a 1, porque la función es decreciente, o sea, se va acercando a y=(-4). Cómo han visto en gráficos de la forma F(x)= a^x cuando a<1 la curva venía de la izquierda decreciendo y no sobrepasaba el eje de las x. Pero en esta forma el piso no es el eje de las x sino y=(-4) y podrán observar en el gráfico los valores que puede tomar x para que F(x) tenga valores negativos, los valores van de (-1, +∞), por lo visto en la función lineal y cuadrática el conjunto de positividad se da cuando los valores de y están sobre el eje x y el conjunto de negatividad se da cuando los valores están bajo el eje x.

Segunda estrategia del problema 9

En este caso puede suceder que el alumno pruebe o tantee para hallar los resultados:

1. Igualar la funciòn a cero.    

2ˆx -4=0

 Despejar el 4 .   2ˆx = 4

Analizar a 2ˆx qué tiene que dar 4 , probar valores más comunes, como el 1 y el 2, encontraría que el 2 da 4 por lo tanto el valor de x que hace nula a la imagen puede ser x=2.

1. 2ˆx -4 = 3

A simple vista notaría que el 3 es un número impar, por lo tanto x no va a ser un número entero ya que la potencia y el 4 son valores pares. Si bien 2ˆ2=4 y 2ˆ3=8 entonces el valor de x va a estar entre 2 y 3 , de esta manera lograría achicar el intervalo para poder resolver de manera más fácil. Probaría con 2,5.  2ˆ(2,5)-4= 1,65. Seguiría tanteando con más valores. Por ejemplo,  2ˆ(2,6)-4=2,06, 2ˆ(2,8)-4= 2,96. El 2,8 se acerca mucho al 3 pero que ya el 2,9 pasa, por lo tanto x es aproximadamente 2,8.

1. Para que f(x) sea negativa 2ˆx tiene que ser menor a 4 de modo que al restarle 4 el valor F(x) sea negativo. Por lo tanto el intervalo que hace a f(x) negativa es (-∞;4)  

• Para los puntos siguientes, podrían usar Geogebra a modo de guia.

d) 2ˆx-4= -3,5 despejamos x. 2ˆx=0,5. Como sabemos los exponentes de número negativo, vuelven a la potencia en decimales acercándose al cero pero nunca pasándolo, por lo tanto los valores que vamos a usar en este ítem van a ser negativos, de esta manera probando, es decir haciendo tanteo, el -1 hallamos el valor de x para f(x)= -3,5.

Lo mismo vamos a usar para f(x)= -3,9375 y de esa manera hallamos el valor de x para f(x)= -3,9375 que es x=-4 que lo hallamos por tanteo también.  

e) Analizando en Geogebra el gráfico de esta función el -5 no se encuentra en ella, por lo tanto no existen valores de x para f(x)= -5  

Estrategias del problema 10

• La estrategia sería seguir analizando los gráficos de acuerdo a la fórmula Y=K*aˆx ± b, ya que han visto que si K es positiva y a ˃1 la función será creciente. Si K es negativa y a ˂ 1 la función también será creciente. En cambio, si K es positiva y a ˂ 1 la función será decreciente y también será decreciente si K es negativa y a ˃ 1. Si b es negativo el “piso” de la función será y menor a 1 y si b es positivo el “piso” será y mayor a 1. O podrían decir que la función se moverá hacia arriba si b es positiva o hacia abajo si b es negativa.

Entonces llegarían a la conclusión que en la función F(x)=  K*aˆx  con K = 1 y a > 1 y a < 1 el gráfico corta al eje en y = 1, si le asignan a x el valor 0. Es el caso de las gráficas 1 y 2.

Pero en el caso de la función F(x)= k*(a)ˆx con K =-1 y a > 1 y a < 1 el gráfico corta al eje en y = (-1) cuando le asignan a x el valor cero. Es el caso de los gráficos 3 y 4.

En el primer gráfico la función podría ser creciente porque k es positiva y a ˃ 1 o sea pertenece a (1, +∞), la función crece cóncava hacia arriba, b es negativa porque bajó el gráfico de la función una unidad.

En el segundo gráfico la función es decreciente porque K es positiva y a ˂ 1 o sea pertenece a (0,1), la función decrece cóncava hacia arriba y b es positiva pues el gráfico de la función subió más de dos unidades.

En el tercer gráfico la función es creciente porque k es negativa y a ˂ 1, pertenece al intervalo (0,1), la función crece cóncava hacia abajo y b es negativa porque la función bajó más de tres unidades.

En el cuarto gráfico la función es decreciente porque k es negativa y a ˃ 1, pertenece al intervalo (1,+∞), la función decrece cóncava hacia abajo y b es positiva porque subió una unidad.

b) Analicen y expliquen los conocimientos en los que se apoyan las estrategias propuestas

Durante la cursada hemos estudiado la función exponencial, sus características, gráficos, etc.  En base a dichos estudios se podría decir que:

• La fórmula general de dicha función es F(x)= [pic 3]
• La variación de la función exponencial es un porcentaje constante
• El dominio de esta función son los reales
• La imagen de esta función son los reales positivos
• a debe ser distinto de 1 y mayor a 0
• El gráfico es una curva continua que tiene como límite el eje de las x
• Esta función es positiva en todo su dominio
• La curva puede ser creciente si a ˃1 y decreciente si a˂1
• Hallamos una segunda fórmula F(x)= K*[pic 4]
• K puede ser cualquier número real y a continúa con las mismas características
• Si K es un número positivo y a˃1 entonces la función es creciente
• Si K es un número negativo y a˂1 entonces la función es creciente
• Si K es un número positivo y a ˂1 entonces la función es decreciente
• Si K es un número negativo y a˃1 entonces la función es decreciente
• Todos los gráficos tienen un “piso”
• Estas funciones pueden ser o enteramente positivas, o negativas en su recorrido de acuerdo a si K es positiva o negativa.
• Una tercera fórmula que podemos encontrar es F(x)=K* ± b, donde K y a siguen teniendo las mismas características y b puede ser cualquier número y nos dice cuál es el límite de la función según b sea positiva o negativa o cuantas unidades se mueve la gráfica hacia arriba o hacia abajo del eje x.[pic 5]

C) Hipoteticen acerca de la intención de docente al incluir estos problemas en este punto de la secuencia:

Teniendo en cuenta que,  estos dos problemas, pertenecen a una secuencia de función exponencial, se podría decir que una de la intenciones del docente sería la de afianzar los conocimientos que habrán ido construyendo los alumnos, clase a clase, a través del cuestionarse y el debate entre sus pares o en compañía del docente. Estos deberían ser alumnos que hayan explorado y experimentados diferentes problemáticas, en las que se tenga que identificar raíces desde gráficos o descubrir algún posible camino algebraico.

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